Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2001


Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geqslant \angle ABC+30°$.
Demostrar que $\angle CAB+\angle COP<90°$.

Problema 2
Demostrar que $$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$$ para todos reales positivos $a,b,c$.

Problema 3
$21$ chicos y $21$ chicas participaron en una olimpíada matemática.
  • Cada participante resolvió a lo sumo $6$ problemas.
  • Para cada chico y para cada chica, hubo al menos un problema que fue resuelto por ambos.
Demostrar que hubo al menos un problema que fue resuelto por al menos $3$ chicos y al menos $3$ chicas.

Problema 4
Sea $n>1$ un entero positivo impar, y sean $k_1,k_2,\ldots ,k_n$ enteros dados. Para cada una de las $n!$ permutaciones $a=(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ de $1,2,\ldots ,n$, sea $$S(a)=\sum \limits_{i=1}^nk_ia_i$$ Demostrar que hay dos permutaciones $b$ y $c$, $b\neq c$, tales que $n!$ divide a $S(b)-S(c)$.

Problema 5
En el triángulo $ABC$, sean $P$ el pie de la bisectriz de $\angle BAC$ y $Q$ el pie de la bisectriz de $\angle ABC$. Se sabe que $\angle BAC=60°$ y que $AB+BP=AQ+QB$.
Hallar los posibles valores de los ángulos del triángulo $ABC$.

Problema 6
Sean $a>b>c>d$ enteros positivos y supongamos que:$$ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c).$$Probar que $ab+cd$ no es primo.