Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2005


Problema 1
Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$ y $A_2$ en $BC$, $B_1$ y $B_2$ en $CA$, $C_1$ y $C_2$ en $AB$. Estos puntos son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ cuyos lados son todos iguales. Demuestre que las rectas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ son concurrentes.

Problema 2
Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión de enteros que tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supongamos que para cada entero positivo $n$, los números $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ tienen $n$ restos distintos en la división por $n$. Demuestre que cada entero aparece exactamente una vez en la sucesión.

Problema 3
Sean $x$, $y$, $z$ números reales positivos tales que $xyz\geqslant 1$.
Demuestre que $$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\geqslant 0.$$

Problema 4
Consideremos la sucesión infinita $a_1,a_2,\ldots$ definida por $$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$ para cada entero $n\geqslant 1$.
Determine todos los enteros positivos que son coprimos con todos los términos de la sucesión.

Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BC=AD$ y $BC\not \parallel AD$. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, que satisfacen $BE=DF$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las rectas $BD$ y $EF$ se cortan en $Q$, las rectas $EF$ y $AC$ se cortan en $R$. Consideremos todos los triángulos $PQR$ que se forman cuando $E$ y $F$ varían. Demuestre que las circunferencias circunscritas a esos triángulos tienen otro punto en común además de $P$.

Problema 6
En una competencia de matemáticas se propusieron $6$ problemas a los estudiantes. Cada par de problemas fue resuelto por más de $\frac{2}{5}$ de los estudiantes. Nadie resolvió los $6$ problemas. Demuestre que hay al menos $2$ estudiantes tales que cada uno tiene exactamente $5$ problemas resueltos.