Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2007


Problema 1
Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales. Para cada $i$ ($1\leqslant i\leqslant n$) se define $$d_i=\text{max}\{a_j:1\leqslant j\leqslant i\}-\text{min}\{a_j:i\leqslant j\leqslant n\}$$ y sea $$d=\text{max}\{d_i:1\leqslant i\leqslant n\}.$$
(a) Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n$,$$\text{max}\{|x_i-a_i|:1\leqslant i\leqslant n\}\geqslant \frac{d}{2}.$$
(b) Demostrar que existen números reales $x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n$ para los cuales se cumple la igualdad.

Problema 2
Se consideran cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es un cuadrilátero cíclico y convexo. Sea $l$ una recta que pasa por $A$. Supongamos que $l$ corta a segmento $DC$ en un punto interior $F$ y a la recta $BC$ en $G$. Supongamos también que $EF=EG=EC$.
Demostrar que $l$ es la bisectriz del ángulo $D\widehat AB$.

Problema 3
En una competencia de matemáticas algunos participantes son amigos. La amistad es siempre recíproca. Decimos que un grupo de participantes es una cliqué si dos cualesquiera de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo con menos de dos participantes es una cliqué). Al número de elementos de una cliqué se le llama tamaño.
Se sabe que en esta competencia el mayor de los tamaños de las cliqués es par.
Demostrar que los participantes pueden distribuirse en dos aulas, de manera que el mayor de los tamaños de las cliqués contenidos en un aula sea igual al mayor de los tamaños de las cliqués contenidos en la otra.

Problema 4
En un triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en $R$ ($R\neq C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$.
Demostrar que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen áreas iguales.

Problema 5
Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$.
Demostrar que $a=b$.

Problema 6
Sea $n$ un entero positivo. Se considera $$S=\{(x,y,z):x,y,z\in \{0,1,\ldots ,n\},x+y+z>0\}$$ como un conjunto de $(n+1)^3-1$ puntos en el espacio tridimensional.
Determinar el menor número posible de planos cuya unión contiene todos los puntos de $S$ pero no incluye a $(0,0,0)$.