Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2008


Problema 1
Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ corta a la recta $BC$ en $A_1$ y $A_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $CA$ que pasa por $H$ corta a la recta $CA$ en $B_1$ y $B_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $AB$ que pasa por $H$ corta a la recta $AB$ en $C_1$ y $C_2$. Demostrar que $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ están sobre una misma circunferencia.

Problema 2
(a) Demostrar que $$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geqslant 1$$ para todos los números reales $x$, $y$, $z$, distintos de $1$, con $xyz=1$.

(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales $x$, $y$, $z$, distintos de $1$, con $xyz=1$ para los cuales se da la igualdad.

Problema 3
Demostrar que existen infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.

Problema 4
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ tales que $$\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$ para todos los números reales positivos $w$, $x$, $y$, $z$, que satisfacen $wx=yz$.

Problema 5
Sea $n$ y $k$ enteros positivos tales que $k\geqslant n$ y $k-n$ es par. Se tienen $2n$ lámparas numeradas $1,2,\ldots ,2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran las sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).
Sea $N$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1,2,\ldots ,n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n+1,\ldots ,2n$ quedan todas apagadas.
Sea $M$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1,2,\ldots ,n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n+1,\ldots ,2n$ quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.
Calcular la razón $\frac{N}{M}$.

Problema 6
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB\neq BC$. Sean $\omega _1$ y $\omega _2$ las circunferencias inscritas de los triángulos $ABC$ y $ADC$ respectivamente. Se supone que existe una circunferencia $\omega$ tangente a la prolongación del segmento $BA$ más allá de $A$ y tangente a la prolongación del segmento $BC$ más allá de $C$, la cual también es tangente a las rectas $AD$ y $CD$. Demostrar que el punto de intersección de las tangentes comunes exteriores de $\omega _1$ y $\omega _2$ está sobre $\omega$.