Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Mayo • 2019 • Nivel 1


Problema 1
Hallar todos los números de dos dígitos $\overline{ab}$ que elevados al cuadrado dan un resultado donde los dos últimos dígitos son $\overline{ab}$.

Problema 2
En un torneo de ajedrez participaron más de cinco competidores. Cada competidor jugó exactamente una vez contra cada uno de los otros competidores. Cinco de los competidores perdieron exactamente dos juegos. Todos los demás competidores ganaron, cada uno, exactamente tres juegos. No hubo empates en el torneo. Determinar cuántos competidores hubo y mostrar un torneo que verifique todas las condiciones.

Problema 3
Gus tiene que hacer una lista de $250$ números enteros positivos, no necesariamente distintos, tal que cada número sea igual a la cantidad de números de la lista que son distintos de él. Por ejemplo, si $15$ es un número de la lista entonces la lista contiene $15$ números distintos de $15$. Determinar la máxima cantidad de números distintos que puede contener la lista de Gus.

Problema 4
Hay que dividir un papel cuadrado en tres partes, mediante dos cortes rectos, de modo que al ubicar estas partes de forma adecuada, sin huecos ni superposiciones, se forme un triángulo obtusángulo. Indicar como cortar el cuadrado y como armar el triángulo con las tres partes.
Nota: un triángulo es obtusángulo si uno de sus ángulos mide más de $90°$.

Problema 5
Se tiene un tablero de tres filas y $2019$ columnas. En la primera fila están escritos los números enteros de $1$ a $2019$ inclusive, ordenados de menor a mayor. En la segunda fila, Ana escribe esos mismos números pero ordenados a su elección. En cada casilla de la tercera fila se escribe la diferencia entre los dos números ya escritos en su misma columna (el mayor menos el menor). Beto tiene que pintar algunos números de la tercera fila de manera que la suma de los números pintados sea igual a la suma de los números de esa fila que quedaron sin pintar. ¿Puede Ana completar la segunda fila de manera que Beto no logre su objetivo?