Problema 1
Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $(2n+1)\times(2n+1)$ Matías marca alternativamente una cruz o un punto en cada casilla hasta completar el tablero (primero marca una cruz). Luego cuenta la cantidad de filas que tienen más cruces que puntos y la cantidad de columnas que tienen más puntos que cruces. Sean $X$ y $P$ respectivamente estas cantidades. El puntaje de Matías es $X+P$. Determinar, para cada $n$, el mayor puntaje que puede obtener Matías.
Problema 2
Sea $x_0, x_1, \ldots, x_{2019}$ una sucesión de enteros positivos tales que $x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_{2019}$. Se sabe que $x_0=1$ y que la subsucesión $x_1,x_2,\ldots,x_{2019}$ contiene exactamente $25$ números distintos. Demostrar que vale la desigualdad$$x_2(x_2-x_0) + x_3(x_3-x_1) + x_4(x_4-x_2) + \ldots + x_{2019}(x_{2019}-x_{2017}) \geq 623.$$
Problema 3
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $DC=DE$ y $D\widehat{C}B=D\widehat{E}A=90^\circ$. Sea $F$ en el segmento $AB$ tal que $\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}$. Demostrar que $F\widehat{E}C=B\widehat{D}C$.
Problema 4
Cinco niños muy inteligentes están sentados en ronda. La maestra les reparte varias manzanas y les dice:
"Les he dado algunas manzanas a algunos de ustedes (puede haber alguno sin manzanas) y no hay dos que recibieran igual número de manzanas. Además cada uno de ustedes conoce el número de manzanas que recibió su vecino de la derecha y su vecino de la izquierda." Luego la maestra anuncia el número total de manzanas y le pregunta a cada niño cuál es la diferencia entre la cantidad de manzanas que recibieron los dos niños ubicados en frente de él en la ronda.
Demostrar que si el número total de manzanas es menor que $16$ hay por lo menos un niño que conocerá correctamente la diferencia entre las cantidades de los dos niños que tiene en frente.
Demostrar que la maestra puede distribuir $16$ manzanas de modo que ninguno de los niños pueda saber con certeza la diferencia entre las cantidades de los niños que tiene en frente.
Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo de papel con $AB = \frac{3}{2}$, $AC = \frac{\sqrt 5}{2}$ y $BC = \sqrt{2}$. Se hace un doblez a lo largo de una línea perpendicular a $AB$. Hallar el valor máximo que puede tener el área de la superposición e indicar el punto por el que pasa la recta del doblez cuando se logra dicho máximo.
Problema 6
Se tiene un número positivo $S$ con la siguiente propiedad: si se toman varios números positivos, no necesariamente distintos, mayores que $0$ y menores o iguales que $1$, cuya suma total es $S$, se sabe que es posible separar los números en dos grupos, uno en el que la suma de los números es menor o igual que $1$ y el otro en el que la suma de los números es menor o igual que $5$.
Hallar el máximo valor posible de $S$.