Problema 1
Sea
[math]P un punto en el interior del triángulo
[math]ABC, y sean
[math]D,
[math]E y
[math]F, los puntos de intersección de
[math]AP con
[math]BC, de
[math]BP con
[math]AC y de
[math]CP con
[math]AB, respectivamente. Demostrar que el aréa del triángulo
[math]ABC debe ser
[math]6 si el aréa de cada uno de los triángulos
[math]PFA,
[math]PDB y
[math]PEC es
[math]1.
Problema 2
En cada casilla de un tablero de
[math]2012 \times 2012, está escrito un número real mayor ó igual a
[math]0 y menor ó igual a
[math]1. Consideramos todas las formas de dividir el tablero en
[math]2 rectángulos no vacíos dibujando una línea paralela al lado horizontal ó vertical del tablero. Supongamos que siempre en uno de los dos rectángulos la suma de los números de sus casillas es menor ó igual a
[math]1, no importa como se divida el tablero. Determinar el mayor valor posible de la suma de los números de todas las
[math]2012\times 2012 casillas.
Problema 3
Determinar todos los pares
[math](p,n) de un número primo
[math]p y un entero positivo
[math]n tal que
[math]\frac{n^p+1}{p^n+1} es un número entero.
Problema 4
Sea
[math]ABC un triángulo acutángulo. Denotamos
[math]D al pie de la perpendicular a
[math]BC trazada por
[math]A,
[math]M al punto medio de
[math]BC, y
[math]H al ortocentro de
[math]ABC. Sea
[math]E el punto de intersección de la circunferencia circunscrita
[math]\Gamma del triángulo
[math]ABC y la semirrecta
[math]MH, y
[math]F el punto de intersección (distinto de
[math]E) de la recta
[math]ED y la circunferencia
[math]\Gamma. Demostrar que
[math]\frac{BF}{CF} = \frac{AB}{AC}.
Problema 5
Sea $n$ un entero mayor o igual que $2$. Demostrar que si los números reales $a_1,a_2,...,a_n$ satisfacen $a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 = n$, entonces $\sum\limits_{1\leq i < j \leq n} \frac{1}{n-a_ia_j} \leq \frac{n}{2}$.