Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Cuenca del Pacífico • 2012


Problema 1
Sea [math] un punto en el interior del triángulo [math], y sean [math], [math] y [math], los puntos de intersección de [math] con [math], de [math] con [math] y de [math] con [math], respectivamente. Demostrar que el aréa del triángulo [math] debe ser [math] si el aréa de cada uno de los triángulos [math], [math] y [math] es [math].

Problema 2
En cada casilla de un tablero de [math], está escrito un número real mayor ó igual a [math] y menor ó igual a [math]. Consideramos todas las formas de dividir el tablero en [math] rectángulos no vacíos dibujando una línea paralela al lado horizontal ó vertical del tablero. Supongamos que siempre en uno de los dos rectángulos la suma de los números de sus casillas es menor ó igual a [math], no importa como se divida el tablero. Determinar el mayor valor posible de la suma de los números de todas las [math] casillas.

Problema 3
Determinar todos los pares [math] de un número primo [math] y un entero positivo [math] tal que [math] es un número entero.

Problema 4
Sea [math] un triángulo acutángulo. Denotamos [math] al pie de la perpendicular a [math] trazada por [math], [math] al punto medio de [math], y [math] al ortocentro de [math]. Sea [math] el punto de intersección de la circunferencia circunscrita [math] del triángulo [math] y la semirrecta [math], y [math] el punto de intersección (distinto de [math]) de la recta [math] y la circunferencia [math]. Demostrar que [math].

Problema 5
Sea $n$ un entero mayor o igual que $2$. Demostrar que si los números reales $a_1,a_2,...,a_n$ satisfacen $a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 = n$, entonces $\sum\limits_{1\leq i < j \leq n} \frac{1}{n-a_ia_j} \leq \frac{n}{2}$.