Competencias Internacionales • Cono Sur • 2019


Problema 1
Martín tiene dos cajas $A$ y $B$. En la caja $A$ hay $100$ bolitas rojas numeradas del $1$ al $100$, cada una con uno de esos números. En la caja $B$ hay $100$ bolitas azules numeradas del $101$ al $200$, cada una con uno de estos números. Martín elige dos números enteros $a$ y $b$, ambos menores o iguales a $100$, y luego extrae al azar $a$ bolitas de la caja $A$ y $b$ bolitas de la caja $B$, sin reposición. El objetivo de Martín es que entre todas las bolitas extraídas haya dos rojas y una azul tal que la suma de los números de las dos rojas sea igual al número de la azul.
¿Cuál es el menor valor posible de $a+b$ para que Martín logre con certeza su objetivo? Para el mínimo valor hallado de $a+b$ dar un ejemplo de $a$ y $b$ que siempre cumpla el objetivo y justificar por qué todo $a$ y $b$ con suma menor puede no cumplir el objetivo.

Problema 2
Decimos que un entero positivo $M$ de $2n$ dígitos es hipercuadrado si satisface las siguientes tres condiciones:
  • $M$ es un cuadrado perfecto.
  • El número formado por los primeros $n$ dígitos de $M$ es un cuadrado perfecto.
  • El número formado por los últimos $n$ dígitos de $M$ es cuadrado perfecto y tiene exactamente $n$ dígitos (no comienza con cero).
Hallar un número hipercuadrado de $2000$ dígitos.

Problema 3
Sea $n \geq 3$ un entero. Determinar si existen permutaciones $(a_1, a_2, ... , a_n)$ de los números $(1, 2, ... , n)$ y $(b_1, b_2, ... , b_n)$ de los números $(n+1, n+2, ... , 2n)$ tales que $(a_1b_1, a_2b_2, ... , a_nb_n)$ sea una progresión aritmética estrictamente creciente.

Problema 4
Hallar todos los números primos positivos $p, q, r, s$ tales que $p^2+2019=26\cdot (q^2+r^2+s^2)$.

Problema 5
Sea $n≥3$ un entero positivo. En cada casilla de un tablero de $n\times n$ se debe escribir $1$ ó $2$ de tal modo que la suma de todos los números escritos en cada subtablero de $2\times 3$ y $3\times 2$ sea par. ¿De cuántas maneras distintas se puede llenar el tablero?

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$, y sea $H$ su ortocentro. La circunferencia de diámetro $AH$ interseca a. La circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P≠A$. La tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ por $P$ interseca a la recta $BC$ en $Q$. Demostrar que $QP=QH$.