Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Provincial - Urbana • 2019 • Nivel 2


Problema 1
Alex y Bea juegan al siguiente juego: Alex elige $181$ números enteros. A continuación, Bea elige $19$ de los números de Alex, eleva al cuadrado cada uno de ellos y suma los $19$ cuadrados. Si esta suma es un múltiplo de $19$ gana Bea, si no, gana Alex. Determinar si Alex puede elegir los $181$ números de modo que Bea le sea imposible ganar.

Problema 2
Hallar todos los tríos $(a,b,c)$ de números enteros positivos tales que$$a\leq b\leq c\quad \text{y}\quad \left (1+\frac{1}{a}\right )\left (1+\frac{1}{b}\right )\left (1+\frac{1}{c}\right )=2$$

Problema 3
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $C\hat A B=40°$, $C\hat A D=30°$, $D\hat B A=75°$ y $D\hat B C=25°$. Hallar $B\hat D C$.

Nota: Un cuadrilátero es convexo si sus lados no se entrecruzan y todos sus ángulos miden menos de $180º$.