Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Provincial - Urbana • 2019 • Nivel 3


Problema 1
Sea $n$ un número entero positivo tal que $n=p\cdot q$, con $p$ y $q$ primos distintos. Si $n+1=5\cdot (p+q)$, hallar todos los posibles valores de $n$.

Nota: El $1$ no es primo.

Problema 2
Julián tiene en la mano un mazo con $52$ cartas, todas boca abajo, y realiza la siguiente operación: toma las primeras $7$ cartas del mazo, las da vuelta, y las coloca al fondo del mazo (esas $7$ están boca arriba). Así las $52$ cartas están nuevamente en una única pila, algunas boca abajo y otras boca arriba. Julián repite esta operación: "toma las $7$ cartas de arriba, las da vuelta y las coloca al fondo del mazo".
Determinar la menos cantidad de operaciones que debe hacer para lograr que todas las cartas que vuelvan a quedar boca abajo (como al inicio del juego).

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con $AC=6$, $BC=2$ y $A\widehat CB=120^\circ$. La bisectriz del ángulo $A\widehat CB$ corta al lado $AB$ en $D$. Determinar la longitud del segmento $CD$.