Problema 1
Un cuadrado está formado por cuatro rectángulos congruentes y un cuadrado más pequeño dentro, como se muestra. Los rectángulos en gris tienen un perímetro de $24\,\text{cm}$ cada uno.
a) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado más grande?
b) Considere los casos en que la medida del lado cuadrado interno es un entero de centímetros. ¿Cuántas son estas medidas?
Brasil N1 P1.PNG
Problema 2
Considere a continuación las secuencias de enteros que tienen las siguientes dos propiedades:
i) Se dan los dos primeros términos.
ii) Cada uno de los siguientes términos es el resto de la división por $9$ del producto de los dos términos anteriores.
a) ¿Cuál es el vigésimo término de la secuencia $2,3,\ldots$?
b) ¿Cuál es el término en la posición $2018$ en secuencia $1,2,\ldots$?
c) Presente dos secuencias cuyo término en la posición $2018$ sea igual a $1$.
Problema 3
Pablo viajó a un reino lejano y llegó a una posada donde quería quedarse por una semana. Él no tenía dinero del país, pero tenía una cadena de 7 eslabones de oro que ofrecía al posadero como pago por alojamiento y comida. Al posadero le gustó la cadena, quiso quedarse con ella y dijo que aceptaría la propuesta siempre que Pablo pagara exactamente $1$ enlace cada día. Y así fue arreglado. Pablo pensó en cortar algunos eslabones de la cadena para poder realizar el pago diario y así, al final de los 7 días, el posadero podría reconstituir toda la corriente.
a) Demuestre que Pablo podría pagar $1$ enlace cada día cortando solo $1$ enlace de la cadena.
Nota: Él puede recibir enlaces del posadero como cambio.
Años más tarde, Pablo regresó a la misma posada y, nuevamente, no tenía dinero del país. En cambio, como pretendía pasar tres semanas, llevaba una cadena con $21$ eslabones de oro. La negociación con el posadero se hizo de la misma manera y Pablo debería pagar diariamente $1$ enlace de su cadena.
b) ¿Cuál es el número mínimo de enlaces que Pablo debe cortar para realizar el pago diario?
Problema 4
Ana, Bruno, Celia y Dirce están en un parque y deciden jugar con una pelota. Cada niño que recibe la pelota debe pasársela a otro niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser Ana la primera en lanzar la pelota y tenerla de regreso después de:
a) $3$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a para Dirce, quien se la pasa a Ana.
b) $4$ jugadas? Por ejemplo, Ana se la pasa a Bruno, quien se la pasa a Ana, quien se la pasa a Celia, quien se la devuelve a Ana.
c) $10$ movimientos?
Problema 5
Un cubo $n\times n\times n$ y formado por $n^3$ cubos unitarios inicialmente tiene un cubo pintado de rojo en uno de sus vértices. Numeramos este cubo con el número $1$. Todos los días desde el día $2$, los cubos vecinos (cubos con caras comunes) a cubos rojos también se vuelven rojos y son numerados con el número del día.
Por ejemplo, el cubo $2\times 2\times 2$ de arriba en el primer día tiene un cubo rojo con el número $1$ en el segundo, hay cuatro cubos rojos, uno con el número 1 y tres con el número 2, al tercer día hay siete, hay un cubo con el número 1, tres con el número 2 y tres con el número 3, y sólo en el cuarto día todos sus cubitos resultan en color rojo. Para representar la numeración final podemos usar $n$ bandejas que representan cada una de las capas del cubo se ve desde el frente. Por ejemplo, para el cubo $2\times 2\times 2$ de arriba tenemos lo siguiente
capas:
a) En la siguiente figura tenemos las cuatro capas del cubo $4\times 4\times 4$ y los cubos numerados con $1$ y $2$. Copiar y completar estas $4$ bandejas con los correspondientes números del cubo.
b) En un cubo de $10\times 10\times 10$ ¿cuántos cubos están numerados con $7$? ¿Y cuántos están numerados con $13$?
c) En un cubo $2018\times 2018\times 2018$ ¿qué número aparece con mayor frecuencia en el número de cubos? (Si hay más de un número que aparece la mayoría de las veces, los enumeramos a todos).