Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IGO • 2018 • Nivel Avanzado


Problema 1
Dos circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$ se cortan en $A$ y $B$. Sea $PQ$ una tangente común a estas dos circunferencias con $P$ en $\omega_1$ y $Q$ en $\omega_2$. Consideramos un punto arbitrario $X$ de $\omega_1$. La recta $AX$ corta por segunda vez a $\omega_2$ en $Y$. El punto $Y'\neq Y$ de $\omega_2$ es tal que $QY=QY'$. La recta $Y'B$ corta por segunda vez a $\omega_1$ en $X'$. Demostrar que $PX=PX'$.

Problema 2
El triángulo acutángulo $ABC$ tiene $\hat A=45^\circ$. Los puntos $O$ y $H$ son el circuncentro y el ortocentro de $ABC$ respectivamente. $D$ es el pie de la altura trazada desde $B$. El punto $X$ es el punto medio del arco $\stackrel \frown{AH}$ de la circunferencia circunscrita del trianguloo $ADH$ que contiene a $D$. Demostrar que $DX=DO$.

Problema 3
Hallar todos los valores posibles del entero $n>3$ tal que existe un polígono convexo de $n$ lados tal que cada diagonal es la mediatriz de al menos otra diagonal.

Problema 4
El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor de una circunferencia. Las diagonales $AC$ y $BD$ no son perpendiculares. Las bisectrices de los ángulos entre estas diagonales cortan a los segmentos $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ en los puntos $K$, $L$, $M$, $N$. Se sabe que $KLMN$ es cíclico; demostrar que $ABCD$ es cíclico.

Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Una circunferencia que pasa por $A$ y $B$ es tangente al segmento $CD$ en el punto $E$. Otra circunferencia, que pasa por $C$ y $D$ es tangente a $AB$ en el punto $F$. El punto $G$ es el punto de intersección de $AE$ y $DF$, y el punto $H$ es el punto de intersección de $BE$ y $CF$. Demostrar que los incentros de los triángulos $AGF$, $BHF$, $CHE$, $DGE$ están en una circunferencia.