Competencias universitarias • El Número de Oro • 2019


Problema 1
Determine todas las ternas de números naturales impares consecutivos formadas por números primos.

Problema 2
Determine todos los números naturales $n$ tales que $$\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv 3n-9 \pmod 5$$.

Problema 3
Dado el triángulo $ABC$ de lados $a,b,c$ construya con regla y compás un triángulo de igual perímetro y mayor área.

Problema 4
Sean $n$ un entero positivo y $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+1$ un polinomio con coeficientes reales no negativos tal que sus $n$ raíces son reales.
Pruebe que la suma de sus coeficientes es mayor o igual que $2^n$.

Problema 5
Determine si el número $$8^{22}+9^{40}$$ es primo o compuesto.

Problema 6
En un bolillero se encuentran todas las bolillas numeradas con cuatro dígitos distintos del conjunto $S=\{1,2,3,4,5,6\}$.
Calcule la probabilidad $P$ de que al extraer aleatoriamente una de tales bolillas, el número correspondiente sea múltiplo de $3$ y los dos números de $S$ que no forman parte de dicho número sean coprimos.

Problema 7
En la figura, $ABC$ es triángulo isósceles, $AB=AC$, rectángulo en $A$. La región $BDCE$ está limitada por los arcos $BEC$ y $BDC$ determinados respectivamente por la circunferencia de centro $A$ y radio $AB$ y la de centro $O$ y radio $OB$, siendo $O$ punto medio de $BC$.
Halle la relación entre las áreas de la región $BDCE$ y la del triángulo $ABC$.

Problema 8
Sea $n$ un número natural. Determine condiciones suficientes sobre $n$ para que
$S=1+2+\ldots +n$ divida a $P=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$.


Problema 9
Sea la sucesión de Fibonacci definida por
$F_1=F_2=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, para $n\geqslant 1$
Pruebe que para cada natural $n\geqslant 2$ se verifica la igualdad $$\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k=nF_{n+1}-F_n$$.

Problema 10
Pruebe que existe un rectángulo áureo cuyas diagonales tienen longitud $\sqrt{11\varphi +7}$, siendo $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ el Número de Oro.

Aclaración:
Se llama rectángulo áureo a un rectángulo cuyos lados, de longitudes $a,b$, con $a>b$, verifican $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$.