Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Mayo • 2018 • Nivel 1


Problema 1
Juan hace una lista de $2018$ números. El primero es el $1$. Luego, cada número se obtiene de sumarle al anterior alguno de los números $1,~2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7,~ 8$ o $9$.
Sabiendo que ninguno de los números de la lista termina en $0$, ¿cuál es el mayor valor que puede tener el último número de la lista?

Problema 2
Se efectúan mil divisiones enteras: se divide $2018$ entre cada uno de los números enteros del $1$ al $1000$. Se obtienen así mil cocientes enteros con sus respectivos restos. ¿Cuál de estos mil restos es el mayor?

Problema 3
Sea $ABCDEFGHIJ$ un polígono regular de $10$ lados que tiene todos sus vértices en una circunferencia de centro $O$ y radio $5$. Las diagonales $AD$ y $BE$ se cortan en $P$ y las diagonales $AH$ y $BI$ se cortan en $Q$. Calcular la medida del segmento $PQ$.

Problema 4
Ana debe escribir $7$ enteros positivos, no necesariamente distintos, alrededor de una circunferencia de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
  • La suma de los siete números es igual a $36$.
  • Si dos números son vecinos la diferencia entre el mayor y el menor es igual a $2$ o $3$.
Hallar el máximo valor del mayor de los números que puede escribir Ana.

Problema 5
En cada casilla de un tablero de $5\times 5$ se escribe uno de los números $2,~3,~4$ o $5$ de manera que la suma de todos los números en cada fila, en cada columna y en cada diagonal siempre sea par.
¿De cuántas formas podemos llenar el tablero?

Aclaración: Un tablero de $5\times 5$ tiene exactamente $18$ diagonales de diferentes tamaños. En particular, las esquinas son diagonales de tamaño $1$.