Problema 1
Un dragón tiene varias cabezas. Un caballero puede cortar $15$, $17$ o $20$ cabezas de un dragón con cada espadazo, pero cada vez que lo hace le crecen más cabezas. Si corta $15$ crecen $24$, si corta $17$ crecen $5$ y si corta $20$ crecen $14$. El dragón muere si en algún momento se queda sin cabezas.
a) ¿Puede el caballero matar a un dragón de $99$ cabezas?
b) ¿Puede el caballero matar a un dragón de $100$ cabezas?
Aclaración: Si el dragón se queda con menos de $15$ cabezas ya no se le puede cortar más.
Problema 2
a) Demuestre que un triángulo de papel cuyos ángulos interiores miden $100°$, $60°$ y $20°$ se puede dividir en dos triángulos isósceles mediante un corte recto.
b) Demuestre que un triángulo de papel cuyos ángulos interiores miden $100°$, $50°$ y $30°$ se puede dividir en tres triángulos isósceles mediante cortes rectos.
Problema 3
Un entero positivo es llamado
favorable si tiene tres divisores positivos distintos cuyo producto es un número de la forma $k^4$, donde $k$ es un entero positivo. Por ejemplo, $144$ es
favorable porque tiene tres divisores positivos distintos: $144, 9$ y $1$, cuyo producto es $6^4$. Sea $C$ el conjunto de todos los divisores positivos del número $2310^9$. Determine cuántos elementos de $C$ son
favorables.
Problema 4
José ubicó $n$ dominós en un tablero $12\times 12$ de tal forma que cada dominó cubre exactamente dos casillas que comparten un lado(los dominós no se superponen). Él se dio cuenta que en la parte del tablero que quedó sin cubrir, es imposible ubicar una ficha de $2\times2$. Determine el menor valor de $n$ para el cual la situación descrita es posible.