Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento Ibero • 2019


Problema 1
Un hexágono inscrito en una circunferencia de radio $R$ tiene dos lados de longitud $1$, dos lados de longitud $2$ y los restantes, de longitud $3$. Demostrar que $R$ es solución de la ecuación
$$2R^3-7R-3=0$$.

Problema 2
Antonio y María juegan el siguiente juego: María elige $n$ números reales $a_1>a_2>\ldots>a_n>0$. Luego marca en el plano los puntos
$$(0,a_1),(1,a_1),(1,a_2),(2,a_2),\ldots,(n-1,a_{n-1}),(n-1,a_n),(n,a_n),(n,0)$$
y los une en ese orden para formar una escalera. Sea $R$ el área que forma la escalera acotada por los ejes coordenados. A continuación, Antonio elige un punto $(x,y)$ debajo de la escalera, es decir, con $y\leq a_{\lceil x\rceil}$, y dibuja un rectángulo con vértices $(0,0)$, $(x,0)$, $(x,y)$, $(0,y)$ de área $A$. El objetivo de Antonio es conseguir un rectángulo tal que el cociente $\frac{A}{R}$ sea lo mayor posible. El objetivo de María es que el cociente $\frac{A}{R}$ que pueda lograr Antonio sea lo menor posible. ¿Cuál es el valor óptimo que cada jugador puede asegurarse, y cuál es la estrategia que ha de seguir cada uno de ellos para lograrlo?

Problema 3
Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia $S_1$ pasa por el vértice $C$ y es tangente a los lados $BA$ y $AD$ en los puntos $P_1$ y $Q_1$ respectivamente. La circunferencia $S_2$ pasa por el vértice $B$ y es tangente a los lados $DC$ y $AD$ en los puntos $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Sean $d_1$ y $d_2$ las distancias desde $C$ y $B$ a las rectas $P_1Q_1$ y $P_2Q_2$ respectivamente. Hallar todos los valores posibles de la razón $d_1:d_2$.

Problema 4
Se tienen $2017$ cajas en una fila numeradas del $1$ al $2017$. En cada una de ellas se pondrán algunas bolitas de colores de manera que cada bolita sea de alguno de $2017$ colores distintos. Un acomodo de bolitas en las cajas es confiable si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) Si dos bolitas de colores distintos $A$ y $B$ están en cajas distintas no adyacentes entonces hay una caja entre estas dos que contiene una bolita de color $A$ o de color $B$.
(b) Si dos bolitas de colores distintos $A$ y $B$ están en cajas distintas no adyacentes entonces no hay una caja entre estas dos que contenga una bolita de color $A$ y otra de color $B$.
(c) Cada color tiene al menos dos bolitas de dicho color que están en cajas distintas.
Finalmente, definimos $\gamma_k$ como el número de colores distintos en la caja $k$. De entre todos los acomodos confiables encontrar el máximo valor de $\gamma_1+\gamma_2+\ldots+\gamma_{2017}$.

Problema 5
Sean $a$, $b$, $c$ números reales del intervalo $[3,7]$. Demostrar que$$\frac{a}{42+c(a+b+1)}+\frac{b}{42+a(b+c+1)}+\frac{c}{42+b(c+a+1)}\geq\frac{1}{7}$$

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $M$ el punto medio del lado $BC$. Supongamos que existen dos puntos $P$, $Q$ distintos en la recta $IM$ tales que $PB=PI$ y $QC=QI$. Sea $G$ el punto de intersección de las rectas $PB$ y $QC$. Probar que la recta $IG$ y la mediatriz del segmento $BC$ se cortan en un punto de $\Gamma$.

Problema 7
Decimos que una sucesión creciente de enteros positivos $a_1<a_2<\ldots<a_n$ es buena si para cada $2\leq k\leq n-1$ se cumple que $a_{k-1}a_{k+1}$ divide a $a_k^4$.
(a) Demostrar que existe una sucesión buena con $n=10^6+1$ tal que $a_{10^6}=6^{2018}$.
(b) Demostrar que no existe ninguna sucesión buena con $n=10^8+1$ tal que $a_{10^8}=6^{2018}$.

Problema 8
Se dice que un número $n$ es flipante si existen tripletas de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que
$$a^2-bc=p$$
$$b^2-ac=q$$
$$c^2-ab=1$$
con $p$ y $q$ enteros no nulos, y la ecuación:
$p^2x^2-nx+q^2=0$
admite soluciones enteras en $x$.
¿Será $2018$ un número flipante?

Problema 9
Sea $X$ un conjunto con $n$ elementos. Probar que el número de pares $(A,B)$ tales que $A$, $B$ son subconjuntos de $X$, $A$ es un subconjunto de $B$ y $A\neq B$ es igual a $3^n-2^n$.

Problema 10
$ABC$ es un triángulo con incentro $I$. Se construyen puntos $P$ y $Q$ tales que $AB$ es bisectriz de $\angle{IAP}$, $AC$ es bisectriz de $\angle{QAI}$ y $\angle{PBI}+\angle{IAB}=\angle{QCI}+\angle{IAC}=90°$. Las rectas $IP$, $IQ$ cortan $AB$, $AC$ en $K$, $L$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $APK$ y $AQL$ se cortan en $A$ y en $R$. Demostrar que $R$ pertenece a la recta que une los puntos medios de $BC$ y $KL$.

Problema 11
Sean $A_1H_1$, $A_2H_2$ y $A_3H_3$ las alturas y $A_1L_1$, $A_2L_2$ y $A_3L_3$ las bisectrices de un triángulo acutángulo $A_1A_2A_3$. Demostrar que $\text{área}(L_1L_2L_3) \geq \text{área}(H_1H_2H_3)$.

Problema 12
Sea $a$ un número primo impar. Decimos que un número es olímpico si es de la forma $a^q-1$ donde $q$ es un número primo. Sea $C$ un conjunto de números primos tal que
(a) Cualquier divisor primo de un número olímpico está en $C$.
(b) Para cualesquiera $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ primos que pertenecen a $C$ se tiene que cualquier divisor primo de $p_1+p_2+\ldots+p_k$ está en $C$.
Demostrar que $C$ es el conjunto de todos los números primos.

Problema 13
Dos puntos del plano se dicen que están unodostresados o que uno de ellos está unodostresado con el otro si la longitud del segmento que los une es una de las cantidades $\{1,2,3\}$. Determinar el mayor número posible de puntos en el plano que pueden existir con la propiedad de que cada punto esté unodostresado con todos los demás.

Problema 14
Sea $n\geq 3$ entero, y sea $1\leq a<2^n$ un entero impar. Definimos $c(a)$ como el menor entero no negativo tal que $a^{2^{c(a)}}-1$ es múltiplo de $2^n$. Hallar el valor de la suma
$$\sum_{k=1}^{2^{n-1}}c(2k-1)$$

Problema 15
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$ y $H$ su ortocentro. Sean $D$ y $E$ las intersecciones de $BH$ y $CH$ con $AC$ y $AB$ respectivamente, y $P$ el pie de la perpendicular de $A$ a $DE$. El circuncírculo de $BPC$ corta a $DE$ en un punto $Q\neq P$. Demostrar que las rectas $AP$ y $QH$ se cortan en un punto sobre el circuncírculo de $ABC$.

Problema 16
Determinar si existen polinomios no constantes $P(x)$ y $Q(x)$ de coeficientes reales que satisfacen $P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}$.

Problema 17
Un punto $X$ está en el interior de un triángulo rectángulo $ABC$ con $\hat B = 90$.
Demostrar la desigualdad $$AX+BX+\sqrt{2}CX\geq \sqrt{5}AB$$ y hallar todos los puntos $X$ para los que vale la igualdad.

Problema 18
Demostrar que para todas las ternas $(x,y,z)$ de números positivos se cumple la desigualdad
$$\frac{x}{\sqrt{3y^2+3z^2+2yz}}+\frac{y}{\sqrt{3z^2+3x^2+2zx}}+\frac{z}{\sqrt{3x^2+3y^2+2xy}}\geq\frac{3}{8}$$

Problema 19
En el triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita $\omega$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $DE$ y $DF$ respectivamente. Se consideran puntos $D'$, $E'$, $F'$ en la recta $MN$ tales que $D'E=D'F$, $BE'||DF$ y $CF'||DE$. Demostrar que las rectas $DD'$, $EE'$ y $FF'$ son concurrentes.

Problema 20
Para cada entero positivo $n$ definimos la siguiente sucesión: $a_1=n$ y para cada $k\geq 2$, $a_k$ es el menor múltiplo de $k$ mayor o igual que $a_{k-1}$. Decimos que el entero positivo $n$ es bueno si $a_k\neq a_{k-1}$ para todo entero positivo $k$.
  • Demostrar que existen infinitos enteros positivos buenos.
  • Sea $b_1<b_2<\ldots$ la sucesión de todos los enteros positivos buenos. Demostrar que $\frac{k^2}{2}<b_k<k^2$ para todo $k\geq 2$.