Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2019


Problema 1
Para cada entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los cuadrados de los dígitos de $n$. Por ejemplo, $s(15)=1^2+5^2=26$.
Determina todos los enteros $n\geqslant 1$ tales que $s(n)=n$.

Problema 2
Determina todos los polinomios $P(x)$ de grado $n\geqslant 1$ con coeficientes enteros tales que para todo número real $x$ se cumple $$P(x)=(x-P(0))(x-P(1))(x-P(2))\cdots (x-P(n-1))$$

Problema 3
Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D$ ($D\neq B$) y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E$ ($E\neq C$). Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$, y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y$ ($Y\neq A$) y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z$ ($Z\neq J$). Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.

Nota. El circuncírculo de un triángulo es la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo.

Problema 4
Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.

Problema 5
Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $(n+1)^2$ vértices determinados por un tablero de $n\times n$. Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $\uparrow ,\downarrow ,\rightarrow ,\leftarrow ,\nearrow ,\searrow ,\swarrow ,\nwarrow$ siempre y cuando no se salga del tablero. Un recorrido es una sucesión de jugadas tal que la ficha estuvo en cada uno de los $(n+1)^2$ vértices exactamente una vez. ¿Cuál es la mayor cantidad de jugadas diagonales ($\nearrow ,\searrow ,\swarrow ,\nwarrow$) que en total puede tener un recorrido?

Problema 6
Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$,

$P(n)$ divide a $a^n_1+a^n_2+\cdots +a^n_{2019}$.

Demuestra que $P$ es un polinomio constante.