Problema 1
Dado un triángulo
[math]\triangle ABC, el punto
[math]J es el centro del excírculo opuesto al vértice
[math]A. Este excírculo es tangente al lado
[math]BC en
[math]M, y a las rectas
[math]AB y
[math]AC en
[math]K y
[math]L, respectivamente. Las rectas
[math]LM y
[math]BJ se cortan en
[math]F, y las rectas
[math]KM y
[math]CJ se cortan en
[math]G. Sea
[math]S el punto de intersección de las rectas
[math]AF y
[math]BC, y sea
[math]T el punto de intersección de las rectas
[math]AG y
[math]BC.
Demostrar que
[math]M es el punto medio de
[math]ST.
(El
excírculo de
[math]\triangle ABC opuesto al vértice
[math]A es la circunferencia que es tangente al segmento
[math]BC, a la prolongación del lado
[math]AB más allá de
[math]B, y a la prolongación del lado
[math]AC más allá de
[math]C.)
Problema 2
Sea $n\geq 3$ un entero, y sean $a_2,a_3\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_2a_3\cdots a_n=1$. Demostrar que$$(1+a_2)^2 (1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n>n^n$$
Problema 3
El
juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ conocidos por ambos jugadores.
Al principio del juego, el jugador $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \leq x \leq N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto, y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ de la siguiente manera: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con
sí o
no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualquiera $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera.
Cuando $B$ haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ entonces gana $B$; en caso contrario, pierde.
Demostrar que:
- Si $n\geq 2^k$, entonces $B$ puede asegurarse la victoria.
- Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n\geq 1,99^k$ tal que $B$ no puede asegurarse la victoria.
Problema 4
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad:$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$.
($\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los números enteros.)
Problema 5
Sea
[math]\triangle ABC un triángulo tal que
[math]\angle BCA=90^{\circ}, y sea
[math]D el pie de la altura desde
[math]C. Sea
[math]X un punto interior del segmento
[math]CD. Sea
[math]K el punto en el segmento
[math]AX tal que
[math]BK=BC. Análogamente, sea
[math]L el punto en el segmento
[math]BX tal que
[math]AL=AC. Sea
[math]M el punto de intersección de
[math]AL y
[math]BK.
Demostrar que
[math]MK=ML.
Problema 6
Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ tales que$$\dfrac{1}{2^{a_1}}+\dfrac{1}{2^{a_2}}+\ldots +\dfrac{1}{2^{a_n}}=\dfrac{1}{3^{a_1}}+\dfrac{2}{3^{a_2}}+\ldots +\dfrac{n}{3^{a_n}}=1.$$