Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IMO • 2012


Problema 1
Dado un triángulo [math], el punto [math] es el centro del excírculo opuesto al vértice [math]. Este excírculo es tangente al lado [math] en [math], y a las rectas [math] y [math] en [math] y [math], respectivamente. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math], y las rectas [math] y [math] se cortan en [math]. Sea [math] el punto de intersección de las rectas [math] y [math], y sea [math] el punto de intersección de las rectas [math] y [math].

Demostrar que [math] es el punto medio de [math].

(El excírculo de [math] opuesto al vértice [math] es la circunferencia que es tangente al segmento [math], a la prolongación del lado [math] más allá de [math], y a la prolongación del lado [math] más allá de [math].)

Problema 2
Sea $n\geq 3$ un entero, y sean $a_2,a_3\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_2a_3\cdots a_n=1$. Demostrar que$$(1+a_2)^2 (1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n>n^n$$

Problema 3
El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ conocidos por ambos jugadores.

Al principio del juego, el jugador $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \leq x \leq N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto, y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ de la siguiente manera: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualquiera $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera.

Cuando $B$ haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ entonces gana $B$; en caso contrario, pierde.
Demostrar que:
  1. Si $n\geq 2^k$, entonces $B$ puede asegurarse la victoria.
  2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n\geq 1,99^k$ tal que $B$ no puede asegurarse la victoria.


Problema 4
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad:$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$.

($\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los números enteros.)

Problema 5
Sea [math] un triángulo tal que [math], y sea [math] el pie de la altura desde [math]. Sea [math] un punto interior del segmento [math]. Sea [math] el punto en el segmento [math] tal que [math]. Análogamente, sea [math] el punto en el segmento [math] tal que [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math].

Demostrar que [math].

Problema 6
Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ tales que$$\dfrac{1}{2^{a_1}}+\dfrac{1}{2^{a_2}}+\ldots +\dfrac{1}{2^{a_n}}=\dfrac{1}{3^{a_1}}+\dfrac{2}{3^{a_2}}+\ldots +\dfrac{n}{3^{a_n}}=1.$$