Problema 1
Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se intersecan en puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos lineas paralelas que pasan por $P$ y $Q$ respectivamente. $\ell_1$ interseca $S_1$ y $S_2$ en los puntos $A_1$ y $A_2$, distintos de $P$, respectivamente. $\ell_2$ interseca $S_1$ y $S_2$ en los puntos $B_1$ y $B_2$, distintos de $Q$, respectivamente. Demostrar que los perímetros de los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ son iguales.
Problema 2
Consideramos un grupo de $n>1$ personas. Cualesquiera dos personas de este grupo están relacionadas por amistad o enemistad mutua. Todo amigo de un amigo y todo enemigo de un enemigo es un amigo. Si $A$ y $B$ son amigos/enemigos entonces lo contamos como $1$ amistad/enemistad. Observamos que el número de amistades y el número de enemistades son iguales en el grupo. Encuentre todos los posibles valores de $n$.
Problema 3
Sean $a,p \in \mathbb{N}$ tales que $p$ es primo. Se sabe que el resto de dividir $a$ por $4$ es igual a $3$ y que el resto de dividir $p$ por $4$ es igual a $1$. Se sabe además que todos los divisores primos de $a$ son también divisores de $p+1$. Si existen tres enteros positivos $x,y,z$ tales que $a^x-p^y=z^2$, probar que $p=2z+1$
Propuesto por: Juan Pablo De Rasis