Listas de problemas • FOFO • Aniversario 2019


Problema 1
Sean $a_1,~a_2,~a_3,\ldots,~b_1, b_2, b_3, \ldots,$ y $c_1, c_2, c_3, \ldots$ progresiones aritméticas de números reales. Se sabe que
\begin{align*}
a_1 + b_1 + c_1 &= 1, \\
a_2 + b_3 + c_4 &= 5, \\
a_5 + b_7 + c_9 &= 11.
\end{align*}
Hallar el valor de $a_{519} + b_{1019} + c_{1519}$.

Aclaración: Una progresión aritmética es una sucesión de números $s_1,~s_2,~s_3,\ldots$ tal que cada término se obtiene de sumar siempre el mismo número al término anterior. Por ejemplo, si para cada $n$ definimos $s_n=3n+1$, obtenemos que los primeros términos son $4,7,10,\ldots$ que resulta ser una progresión aritmética en la cual cada término se obtiene de sumarle $3$ al anterior.

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con circuncentro $O$. Llamamos $D$ al pie de la bisectriz desde $A$. Demostrar que la mediatriz del segmento $AD$, la perpendicular a la recta $BC$ por $D$, y la recta $OA$ pasan las tres por un mismo punto.

Aclaración: El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las mediatrices de sus lados. Además, es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo.

Problema 3
Demostrar que para todo entero positivo $n>2$ los divisores primos del número
\begin{equation*}
(n^2-4)! + (n^2-3)! + (n^2-2)! + (n^2-1)!
\end{equation*}
son menores o iguales a $n^2+n-1$.

Aclaración: Se define el factorial de $n$ como $n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$, es decir, el producto de todos los números desde $1$ hasta $n$. Por ejemplo $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$.

Problema 4
En una cárcel, $2019$ prisioneros se juegan la libertad a partir del siguiente problema: un ogro no muy selectivo los ubica en ronda y les coloca arbitrariamente un sombrero de uno de $2019$ colores disponibles (los prisioneros saben de antemano cuales son los $2019$ colores posibles) de modo que cada uno sólo pueda ver los colores de los demás $2018$ prisioneros. Luego, les pide que escriban el color de sombrero que creen tener. Ninguno puede hablar en voz alta, y para liberarse al menos uno tiene que decir correctamente el color de su sombrero. Determinar si existe alguna estrategia que les permita obtener la libertad.

Problema 5
Decimos que un entero positivo es básico si no existe ningún primo $p\geq 5$ que lo divida. Demostrar que todo entero positivo se puede escribir como la suma de varios números básicos, tales que ninguno de ellos es divisor de otro.

Problema 6
Sean $ABCD$ un paralelogramo tal que $\angle A>90^{\circ}$, $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la recta $BC$, y $M$ el punto medio de $AB$. La recta $CM$ corta nuevamente al circuncírculo de $ABC$ en el punto $K$.

Demostrar que $C,D,H,K$ están sobre una misma circunferencia.

Problema 7
El Chino, todos los viernes por la noche, da un show de Stand Up en un auditorio de una sola fila. Al final de cada show, los espectadores pueden aplaudir $(A)$ si les gustó, o arrojar tomates $(T)$ si no quedaron satisfechos. El Chino, luego de cada show, dice que su público es copado, si en la primera fila no encuentra $3$ personas del público consecutivas tales que las dos personas de los extremos le arrojen tomates pero la del medio aplauda ($T-A-T$), o el público es ortiva, si no encuentra $4$ personas consecutivas en la primera fila tales que las primeras dos personas aplaudan y las última dos arrojen tomates, o viceversa ($A-A-T-T$ o $T-T-A-A$).

El Chino, además de buen comediante, es un gran matemático, y llegó a la conjetura de que la cantidad de combinaciones posibles para un público copado de $n$ personas es igual a la mitad de la cantidad de combinaciones para un público ortiva de $n+1$ personas. Ayuda al Chino a demostrar que está en lo cierto.

Problema 8
Sea $A$ un conjunto de $n$ reales positivos. Sea $S$ el conjunto de todas las sumas de algunos de los números del conjunto. Demostrar que se puede particionar a $S$ en $n$ subconjuntos tales que para cada subconjunto la razón entre el más grande y el más chico no supera $2$.

Problema 9
En cada vértice de un $2019$-ágono regular hay un tótem. Inicialmente, cada tótem le está disparando con un rayo laser a otro tótem. Un movimiento consiste en elegir un tótem y hacerlo girar en sentido antihorario hasta que su laser toque por primera vez a otro tótem. Decimos que un tótem $A$ está triangulado si existen dos tótems $B$ y $C$ tales que el láser del tótem $A$ apunta al tótem $B$, el laser del tótem $B$ apunta al tótem $C$ y el laser del tótem $C$ apunta al tótem $A$.

Hallar la menor cantidad de movimientos necesarios para garantizar que todos los tótems queden triangulados.