Problema 1
Los tres enteros $2000$, $19$ y $n$ están escritos en el pizarrón. Ana y Beto juegan el siguiente juego:
Comienza Ana y luego juegan por turnos. Cada jugada consiste en borrar uno de los números del pizarrón y reemplazarlo por la diferencia de los otros dos (el mayor menos el menor). Solo están permitidas las jugadas en las que se modifica uno de los números escritos. El jugador que en su turno no puede jugar, pierde.
Demostrar que para todo valor de $n$, el juego tiene un ganador y determinar quién gana si los números del pizarrón son $2000$, $19$ y $2019$.
Problema 2
Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ bolillas numeradas del $1$ al $n$ y tres cajas de diferentes colores. Hallar el menor $n$ tal que para toda ubicación de las $n$ bolillas en las tres cajas siempre haya en una misma caja dos bolillas tales que la diferencia de los números escritos en ellas (el mayor menos el menor) sea igual a un número entero elevado al cuadrado.
Problema 3
En el triángulo $ABC$ sean $D$ y $E$ en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $BD=CE$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $DE$ respectivamente.
Demostrar que la bisectriz del ángulo $B\hat A C$ es paralela a la recta $MN$.
Problema 4
Bruno elige un número entero positivo $X$. A continuación, Flor elige cuatro números enteros $a$, $b$, $c$, $d$ y calcula $N=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)$, la multiplicación de las seis diferencias entre esos cuatro números. Determinar el mayor valor de $X$ con el que Bruno tiene la certeza de que $N$ será múltiplo de $X$.
Problema 5
Hallar el mayor número entero capicúa de $5$ dígitos que es divisible por $101$.
Aclaración: Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
Problema 6
En un tablero de $9\times 9$ hay que colorear de rojo algunas casillas, por lo menos una. Para cada coloración, sea $P$ la cantidad de casillas, coloreadas o no, que tienen un número par de casillas vecinas rojas. (Dos casillas son vecinas si tienen un lado común). Dar una coloración del tablero que tenga el menor valor posible de $P$ y demostrar que no puede haber un valor más chico.
Aclaración: $0$ es par.