Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Mateclubes • Ronda Final • 2019 • Nivel 1


Problema 1
Rafa piensa un número de $4$ dígitos $ABCD$, lo multiplica por $5$ y por $6$ y obtiene como resultado dos números de $5$ dígitos. Escribe las cuentas en el pizarrón pero luego borra los resultados dejando solo algunos dígitos.
¿Cuál es el número $ABCD$ que pensó Rafa? Dar todas las posibilidades.

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Problema 2
Rafa tiene en una bolsa todas las fichas de domino que se pueden formar con los números del $1$ al $5$. Un $juego$ es una cadena de fichas, donde el número de la derecha de una ficha es igual al número de la izquierda de la ficha que le sigue. Por ejemplo,
es un juego mientas que
no. Rafa quiere armar juegos con las fichas, tiene que usar todas las fichas y cada ficha puede estar en un solo juego.

$a)$ ¿Cuál es la mínima cantidad de juegos en los que Rafa puede dividir las fichas?

$b)$ Si Betty tiene todas las fichas que se pueden formar con los números del $1$ al $6$, ¿Cuál es la mínima cantidad de juegos en los que Betty puede dividir las fichas?

Aclaración: Las fichas que se pueden formar con los números del $1$ al $5$ son: 1–1, 1–2, 1–3, 1–4, 1–5, 2–2, 2–3, 2–4, 2–5, 3–3, 3–4, 3–5, 4–4, 4–5, 5–5.
Las fichas que se pueden formar con los números del 1 al 6 son: 1–1, 1–2, 1–3, 1–4, 1–5, 1–6, 2–2, 2–3, 2–4, 2–5, 2–6, 3–3, 3–4, 3–5, 3–6, 4–4, 4–5, 4–6, 5–5, 5–6, 6–6.

Problema 3
Mario piensa dos números positivos que sumen $63$ y completa un tablero de una fila de $50$ casillas con esos números alternadamente. Por ejemplo, si elige los números $30$ y $33$, completa las primeras $7$ casillas así:

Mateclubes 2019 - Nivel 1 - Problema 3.png

Luego busca rectángulos de casillas vecinas en el tablero de $50$ casillas y calcula la suma de los números en ese rectángulo (los rectángulos pueden abarcar cualquier cantidad de casillas). Por ejemplo, si elige en el ejemplo anterior el rectángulo que contiene las casillas $2$, $3$ y $4$, la suma de los números es $33+30+33 = 96$.
Por cada rectángulo que encuentra donde la suma de los números es un número terminado en $63$, Rafa tiene que darle a Mario un caramelo.

$a)$ ¿Qué números elige Mario si quiere recibir la mayor cantidad posible de caramelos? ¿Cuántos caramelos recibe?

$b)$ Ahora Rafa elige dos números positivos cualesquiera menores que $50$ (pueden no sumar $63$) y completa otro tablero de una fila de $50$ casillas con esos números alternadamente. Luego busca en el tablero rectángulos de casillas vecinas tales que la suma de los números en el rectángulo termine en $63$. Por cada rectángulo que encuentra, Mario tiene que darle a Rafa un caramelo.
Rafa quiere recibir más caramelos que los que le dio a Mario. ¿Qué números puede elegir? ¿Cuántos caramelos recibe?

Aclaración: partes de los rectángulos pueden superponerse entre sí, por ejemplo un rectángulo puede abarcar las casillas $2$ y $3$, otro rectángulo las casillas $3$ y $4$ y otro rectángulo las casillas $2$, $3$, $4$ y $5$.