Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Mateclubes • Ronda Final • 2019 • Nivel 2


Problema 1
Rafa piensa un número de $4$ dígitos $ABCD$, lo multiplica por $3$, $5$ y $7$ y obtiene $3$ números de $5$ dígitos. Escribe las cuentas en el pizarrón y luego borra los resultados dejando solo algunos dígitos.
¿Cuál es el número $ABCD$ que pensó Rafa? Dar todas las posibilidades.

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Problema 2
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $3456$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.
Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8$ y $15 + 29 + 1056$ termina en $0$.
¿Cual es la máxima cantidad de números que puede dejar Betty en el pizarrón para que se cumpla lo pedido con todos los números?

Problema 3
Mario piensa dos números enteros positivos menores que $100$ y completa un tablero de $4 \times 4$ con esos números, escribiendo uno de esos números en todas las casillas blancas y el otro número en todas las casillas sombreadas. Luego busca en el tablero rectángulos de casillas tales que el resultado de sumar todos los números en el rectángulo termine en $63$. Por cada rectángulo que encuentra, Rafa tiene que darle a Mario un caramelo.

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¿Cómo completa el tablero Mario si quiere recibir la mayor cantidad posible de caramelos?
Aclaración: los cuadrados también se consideran rectángulos.