Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Mateclubes • Ronda Final • 2019 • Nivel 3


Problema 1
Betty completa lascasillas de la figura, escribiendo un número entero positivo en cada casilla (puede haber números repetidos).
Quiere que el número en cada casilla sombreada oscura de la parte superior sea igual a la suma de los números en las dos casillas que tiene debajo y que el número en cada casilla sombreada clara de la parte inferior sea igual a la diferencia de los números en las dos ca- sillas que tiene encima (la diferencia entre dos números es igual a la resta entre el mayor y el menor).
¿Qué número puede escribir en la casilla inferior de la figura? Dar todas las posibilidades.

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Problema 2
Mario piensa dos números enteros positivos menores que $100$ y completa un tablero de $4 \times 4$ con esos números, escribiendo uno de esos números en todas las casillas blancas y el otro número en todas las casillas sombreadas.
Luego busca en el tablero rectángulos de casillas tales que el resultado de sumar todos los números en el rectángulo termine en $59$. Por cada rectángulo que encuentra, Rafa tiene que darle a Mario un caramelo.

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$a)$ ¿Cómo completa el tablero Mario si quiere recibir la mayor cantidad posible de caramelos?
$b)$ Ahora Rafa piensa dos números enteros positivos menores que $100$ y completa un tablero de $4 \times 4$ con esos números, escribiendo uno de esos números en todas las casillas blancas y el otro número en todas las casillas negras. Mario le da un caramelo por cada rectángulo tal que la suma de los números termine en $59$. Si Rafa no puede elegir los mismos dos números que Mario, ¿cuántos caramelos puede recibir como máximo?

Aclaración: los cuadrados también se consideran rectángulos.

Problema 3
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos). Betty borra algunos de los números del pizarrón, de forma tal que si elegimos cualquier número del pizarrón, el último dígito de este número coincide con el último dígito de la suma de todos los restantes números en el pizarrón.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $29$, $48$ y $1056$, cuando elegimos el número $29$ se cumple lo pedido porque $29$ y $15 + 48 + 1056$ terminan ambos en $9$, pero si elegimos el número $48$ no se cumple lo pedido porque $48$ termina en $8 y 15 + 29 + 1056$ termina en $0$.

Si Betty quiere que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?