Problema 1
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos) uno después del otro, en ese orden. Betty borra algunos de los números del pizarrón. Un par de números vecinos (es decir que entre ellos no haya quedado ningún número sin borrar) es
bueno si el último dígito de la suma de esos dos números coincide con el último dígito de la suma de todos los números restantes en el pizarrón y es
malo si no se cumple esa condición.
Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $23$, $48$, $56$ y $100$, el par de números vecinos $23$ y $48$ es bueno porque $23+48$ y $15+56+100$ terminan ambos en $1$, pero el par $15$ y $23$ es malo porque $15+23$ termina en $8$ y $48+56+100$ termina en $4$.
Betty quiere que todos los pares de números vecinos sean buenos y que la suma de todos los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible. ¿Qué números deja escritos en el pizarrón?
Problema 2
Betty coloca fichas de dominó en un tablero de $8\times 9$ casillas. Las fichas no pueden sobresalir del tablero, ni pueden superponerse. ¿Cuál es la máxima cantidad de dominós que puede ubicar en el tablero si ya colocó las primeras seis fichas como se ve en le figura?
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\quad\!& & & & & & & &\quad\! \\ \hline
& & & & & & \blacksquare & \blacksquare & \\ \hline
& & & & & \blacksquare & \blacksquare & & \\ \hline
& & & & \blacksquare & \blacksquare & & & \\ \hline
& & & \blacksquare & \blacksquare & & & & \\ \hline
& & \blacksquare & \blacksquare & & & & & \\ \hline
& \blacksquare & \blacksquare & & & & & & \\ \hline
& & & & & & & & \\ \hline
\end{array}$$
Problema 3
En el club de tenis Mateclubes se disputó un torneo de tenis, en el cual participaron $5$ tenistas. Cada tenista jugó una vez con cada uno de los demás tenistas. Se sabe que cada tenista le ganó a otros $2$ tenistas, y perdió con otros $2$. Decimos que un trío de tenistas $A$, $B$ y $C$ es parejo, si $A$ le ganó a $B$, $B$ le ganó a $C$ y $C$ le ganó a $A$.
- Determinar cuántos tríos parejos puede haber en el torneo. Dar todas las posibilidades.
- Si en otro torneo participan $101$ tenistas, y cada teniste le gana a $50$ tenistas y pierde con otros $50$ tenistas, cuantos tríos parejos puede haber en el torneo. Dar todas las posibilidades.