Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Mateclubes • Ronda Final • 2019 • Nivel 5


Problema 1
Betty completa las casillas de la figura, escribiendo un número entero positivo en cada casilla (puede haber números repetidos).

Mateclubes 2019 - Nivel 5 - Problema 1.png

Quiere que el número en cada casilla sombreada oscura de la parte superior sea igual a la suma de los números en las dos casillas que tiene debajo y que el número en cada casilla sombreada clara de la parte inferior sea igual a la diferencia de los números en las dos casillas que tiene encima (la diferencia entre dos números es igual a la resta entre el mayor y el menor).

¿Qué número puede escribir en la casilla inferior de la figura? Dar todas las posibilidades.

Problema 2
Mario escribió en el pizarrón los números del $1$ al $2019$ (ambos incluidos) en orden uno después del otro. Betty borra algunos de los números del pizarrón. Un grupo de $3$ números contiguos (es decir que entre ellos no haya quedado ningún otro número sin borrar) es bueno si el último dígito de la suma de esos tres números coincide con el último dígito de la suma de todos los números restantes, y es malo si no se cumple esta condición.

Por ejemplo, si Betty deja los números $15$, $23$, $48$, $56$ y $102$, el grupo de números contiguos $23$, $48$ y $56$ es bueno porque $23+48+56$ y $15+102$ terminan ambos en $7$, pero el grupo $15$, $23$ y $48$ es malo porque $15+23+48$ termina en $6$ y $56+102$ termina en $8$.

Si Betty quiere que todos los grupos de $3$ números contiguos sean buenos y que la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón sea la mayor posible, ¿qué números deja escritos en el pizarrón?

Problema 3
En la ciudad de Biletralandia, las palabras están formadas únicamente por letras $A$ y $B$. En dicha ciudad, todas las palabras cumplen las siguientes propiedades:
  • Tienen $2019$ letras.
  • Ningún fragmento de la palabra es $ABAB$.
Todas las palabras que se pueden formar con esas propiedades existen en el idioma de Biletralandia. ¿La cantidad de palabras en el idioma de Biletralandia es par o impar?