Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Rioplatense • 2009 • Nivel 2


Problema 1
Sea $X$ un punto interior del triángulo $ABC$, y sea $Y$ un punto interior del triángulo $AXC$ tal que $Y\widehat AC= X\widehat AB$ e $Y\widehat CA= X\widehat CB$. Sea $P$ el simétrico de $X$ respecto de la recta $AB$. Sea $Q$ el simétrico de $X$ respecto de la recta $BC$. Demostrar que los segmentos $PY$ y $QY$ son iguales.

Problema 2
Se tienen $2009$ sucesiones finitas de $0$ y $1$. Ninguna de ellas coincide con el comienzo de otra. Si $n$ es el total de $0$ y $1$ contenidos en las $2009$ sucesiones, hallar el menor valor posible de $n$.

Problema 3
Se tienen $2009$ bolitas, algunas blancas y las otras, negras. Todas las bolitas de un mismo color deberían tener el mismo peso, las blancas más livianas que las negras. Sin embargo se sabe que hay exactamente una bolita con el color equivocado, o sea, tiene el peso de una bolita del otro color.
Demostrar que se la puede identificar mediante $7$ pesadas en una balanza de dos platos. (la balanza indica si los dos platos pesan lo mismo o cuál de los dos pesa más)

Problema 4
Hallar todos los enteros $n > 1$ que se pueden representar como suma de $4$ divisores de $n-1$ positivos y distintos entre sí.

Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sea $I_1$ el incentro del triángulo $ABD$ y sea $I_2$ el incentro del triángulo $BDC$. Se sabe que los cuadriláteros $ABI_2D$ y $CBI_1D$ son cíclicos.

Demostrar que las rectas $AC$, $BD$ e $I_1I_2$ son concurrentes si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.

Problema 6
Se tienen $4$ varillas verticales. En la varilla $1$ hay $2009$ CD’s de color $a$, en la varilla $2$ hay $2009$ CD’s de color $b$ y en la varilla $3$ hay $2009$ CD’s de color $c$, formando tres torres. La varilla $4$ está vacía.
La movida permitida es pasar el disco superior de una torre a otra varilla de modo que quede encima de los discos de esa torre, o pasarlo a una varilla vacía.
El objetivo es que queden $2009$ discos en la varilla $1$ con colores alternados $b,~c,~a,~b,~c,~a,\ldots$(de abajo hacia arriba), $2009$ discos en la varilla $2$ con colores alternados $c,~a,~b,~c,~a,~b,\ldots$ (de abajo hacia arriba) y $2009$ discos en la varilla $3$ con colores alternados $a,~b,~c,~a,~b,~c,\ldots$ (de abajo hacia arriba).
Mostrar cómo se puede lograr el objetivo en el menor número posible de movidas.