Archivo de Enunciados • Listas de problemas • OMA Foros Open • 2020


Problema 1
Bruno escribe en el pizarrón una lista con todos los números primos entre $1$ y $2020$, ordenados de menor a mayor:$$2,~3,~5,~7,~11,~\ldots,~2011,~2017.$$Luego, Camila elige dos números en posiciones consecutivas de la lista de Bruno y los suma. ¿Es posible que el resultado que obtiene Camila al sumar estos dos números sea el doble de un número primo? Si la respuesta es sí, mostrar una manera de lograrlo; si es no, explicar por qué es imposible.

Problema 2
Consideramos todas las palabras de $8$ letras que se pueden escribir usando solamente las letras $O$ y $F$. En estas palabras, llamamos sílaba a cualquier par de letras que aparezcan en posiciones consecutivas dentro de la palabra. Así, toda palabra contiene $7$ sílabas.
Decimos que una palabra es oficial si la sílaba $OF$ aparece más veces que la sílaba $FO$. Por ejemplo, la palabra $OFOFFOOF$ es oficial, porque la sílaba $OF$ aparece $3$ veces y la sílaba $FO$ aparece $2$ veces.
Franco hizo la lista de todas las palabras oficiales de $8$ letras. ¿Cuántas palabras tiene la lista de Franco? Explicar cómo las contaste.

Problema 3
En el tablero de la figura, Joaco debe escribir $9$ enteros positivos distintos, uno en cada casilla, ordenados de menor a mayor (de izquierda a derecha), de manera que la suma de todos los números del tablero sea exactamente $2020$. ¿Cómo puede completar Joaco el tablero para que los números de las casillas sombreadas sumen lo menos posible? Mostrar un ejemplo para dicha cantidad, y explicar por qué no se puede obtener una suma menor.
p3ofo2020.png


Problema 4
Sea $ABCD$ un rectángulo en el que el lado $BC$ es más largo que el lado $AB$. Se refleja el punto $A$ respecto de la diagonal $BD$, obteniendo el punto $E$. Sabiendo que $BE = EC = 404$, calcular el perímetro del cuadrilátero $BECD$.

Problema 5
En el Certamen Nacional de la FOMA (Falsa OMA), los exolímpicos empezaron a corregir las planillas de la Odisea con el siguiente procedimiento. Inicialmente están todas las planillas en una sola pila. En cada operación se puede elegir una pila que tenga al menos $3$ planillas, corregir una planilla de esa pila y archivarla, y finalmente dividir el resto de la pila en dos nuevas pilas, no necesariamente iguales y con al menos una planilla cada una.
Los exolímpicos no recuerdan cuántas planillas tenían para corregir originalmente, así que recurren a los dos olímpicos con más memoria: Male y Raimu. El problema es que ellos tampoco lo recuerdan bien. Mientras que Male piensa que había $2019$ planillas, Raimu insiste en que la cantidad original era $2020$.
En cierto momento de la noche, los exolímpicos observaron que todas las pilas de planillas que aún quedaban por corregir tenían exactamente $4$ planillas cada una.
(a) ¿Puede pasar que Male tenga razón?
(b) ¿Puede pasar que Raimu tenga razón?

Problema 6
Sea $N$ un entero positivo. Bat debe escribir una progresión aritmética de $180$ números reales en la cual exactamente $N$ de sus términos sean números enteros. Determinar el mínimo valor de $N$ para el cual la tarea de Bat es imposible.

Aclaración: Una progresión aritmética es una lista de números en la cual cada término se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija $d$, que se llama la diferencia de la progresión. Por ejemplo, $3,~7,~11,~15,~19,~23$ y $\frac{1}{3},~\frac{1}{2},~\frac{2}{3},~\frac{5}{6}$ son progresiones aritméticas.

Problema 7
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo en el cual $A\widehat BC = B\widehat CD > 90^{\circ}$ y $C\widehat DA = 90^{\circ}$. En este cuadrilátero se cumple además que $AB = 2CD$. Demostrar que la bisectriz del ángulo $A\widehat{C}B$ es perpendicular a $CD$.

Problema 8
Sea $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ una sucesión infinita de números enteros positivos, estrictamente creciente, que cumple la siguiente propiedad: para todo $n \geq 10$, $a_n$ divide a la suma de todos los términos anteriores. Demostrar que existe $m \in \mathbb N$ tal que para todo $n \geq m$ se cumple que $a_n$ es igual a la suma de todos los términos anteriores.

Problema 9
En una olimpíada de matemática muchos participantes hicieron nuevos amigos. Al finalizar la olimpíada se observó que en cualquier grupo de 4 participantes, o bien hay 3 participantes que son todos amigos entre sí o bien hay 3 participantes tales que ningún par de ellos son amigos.
Demostrar que es posible distribuir a los participantes de esta olimpíada en dos aulas $A$ y $B$ de manera tal que en el aula $A$ todos los participantes son amigos entre sí, y en el aula $B$ no hay dos participantes que sean amigos.

Aclaraciones: La amistad es recíproca, es decir, si $X$ es amigo de $Y$, entonces $Y$ es amigo de $X$.
Está permitido que una de las dos aulas quede vacía.

Problema 10
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo en el cual $A\widehat{D}C=30^{\circ}$ y además $BD=AB+BC+CA$. Demostrar que $A \widehat B D = D \widehat B C$.

Problema 11
Determinar el mayor número real $c$ que cumple la siguiente propiedad: para todo entero $n>1$, el promedio de todos los divisores positivos de $n$ es al menos $c \sqrt{n}$.

Problema 12
Determinar todas las cuaternas $(a,b,c,d)$ de números reales positivos distintos que verifican $abcd=1$ y $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ simultáneamente.

Problema 13
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $R$, y las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $L$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $MN$ con las diagonales $AC$ y $BD$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscriptas de los triángulos $PQR$ y $LMN$ son tangentes.

Problema 14
Se tienen $2^{180}+1$ puntos en el plano. Demostrar que existen $3$ de ellos que determinan un ángulo de al menos $179^{\circ}$ y a lo sumo $180^{\circ}$.

Problema 15
Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determinar todas las funciones $F:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ que cumplen la siguiente propiedad: si $x$, $y$ y $z$ son los lados de un triángulo cuyo inradio es $r$, entonces $F(x)$, $F(y)$ y $F(z)$ son los lados de un triángulo cuyo inradio es $F(r)$.

Aclaración: El inradio de un triángulo es el radio de la circunferencia interior al triángulo que es tangente a sus tres lados.

Problema 16
Decimos que un entero positivo $k$ es buenardo si existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^2+y^2 = k$. Si no existen estos enteros positivos, entonces $k$ es malardo.
Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n$ y $n+2020$ son buenardos, pero $n+1,~n+2,~n+3,~\ldots,~n+2018,~n+2019$ son todos malardos.