Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo, y $D$ el pie de la altura desde $A$, tal que $BC=8$ y $AD=6$.
Sea $M$ el punto medio de $BD$ y $N$ el punto medio de $AC$.
Calcular $MN$.
Problema 2
En una lista infinita se escriben los enteros positivos que consisten de un único dígito del $1$ al $9$ repetido muchas veces:
$1$, $11$, $111$, $1111$, $11111$, . . .
$2$, $22$, $222$, $2222$, $22222$, . . .
$3$, $33$, $333$, $3333$, $33333$, . . .
. . .
. . .
$9$, $99$, $999$, $9999$, $99999$, . . .
Hallar todos los enteros positivos de la lista infinita que son cuadrados perfectos.
Problema 3
En un tablero de $3\times 3$ se tiene una serpiente. Una serpiente de longitud $k$ es un animal que inicialmente ocupa una tira ordenada de casillas distintas del tablero, a la que llamaremos $(s_1, s_2, . . . , s_k)$, de modo que las casillas $s_i$ y $s_{i+1}$ comparten un lado para todo $i = 1, 2, . . . , k−1$. Tras ser posicionada en el tablero, si la serpiente actualmente ocupa $(s_1, s_2, . . . , s_k$) y $s$ es una casilla desocupada que comparte un lado con $s_1$, la serpiente puede realizar un movimiento para pasar a ocupar $(s, s_1, . . . , s_{k−1})$. Decimos que la serpiente se dio vuelta si inicialmente ocupaba las casillas $(s_1, s_2, . . . , s_k)$ y tras realizar una serie de movimientos terminó ocupando las casillas $(s_k, s_{k−1}, . . . , s_1)$.
Hallar el entero más grande $k$ tal que se puede posicionar una serpiente en un tablero de
$3\times 3$ de longitud $k$ tal que esta pueda darse vuelta.