Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2019-2020 • Marzo 2020 • Nivel Juvenil


Problema 1
Determinar si existe un entero positivo que sea divisible por $2020$ y que tenga la misma cantidad de cada uno de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Problema 2
Tres caballeros legendarios pelean contra un dragón de varias cabezas. Cada vez que el primer caballero ataca, corta la mitad de las cabezas que hay en ese momento, más una cabeza más. Cada vez que el segundo caballero ataca, corta un tercio de las cabezas que hay en ese momento, más dos cabezas más. Cada vez que el tercer caballero ataca, corta un cuarto de las cabezas que hay en ese momento, más tres cabezas más. Ellos atacan repetidamente, en un orden arbitrario, de manera que en cada etapa se cortan un número entero de cabezas. Si no se pueden organizar para que los tres caballeros hagan sus cortes porque no da entero el número de cabezas a cortar, entonces el dragón petrifica a los tres caballeros y la batalla finaliza. ¿Podrán los caballeros cortar todas las cabezas del dragón si este tiene $41!$ cabezas?

Nota: $41!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 41$ es la multiplicación de los enteros desde $1$ hasta $41$.

Problema 3
Determinar si es posible inscribir en una circunferencia un polígono de $N$ lados que tenga todos sus lados distintos y todos sus ángulos, medidos en grados, sean números enteros para
a) $N=19$
b) $N=20$

Problema 4
Determinar para que enteros $N$ es posible escribir números reales en las casillas de un tablero de $N\times N$ de manera que al hacer todas las sumas de dos números escritos en casillas adyacentes del tablero se obtengan todos los enteros de $1$ a $2(N-1)N$, cada uno solo una vez.

Problema 5
Sea $ABCD$ un trapecio inscripto en una circunferencia, la base $AB$ es $3$ veces la base $CD$. Se trazan las tangentes a la circunferencia por $A$ y por $C$, que se cortan en $K$. Demostrar que el ángulo $K\widehat DA$ es recto.

Problema 6
Ana tiene un mazo de $36$ cartas con $4$ palos de $9$ cartas cada uno. Ella elige $18$ cartas y le da las restantes a Beto. Luego, en cada turno, Ana pone una de sus cartas boca arriba sobre la mesa y, a continuación, Beto pone una de sus cartas boca arriba sobre la mesa; las dos cartas jugadas ya no vuelven al juego. Si las dos cartas son del mismo palo o son del mismo número, Beto gana un punto. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos que Beto se puede asegurar, no importa cómo juegue Ana?

Problema 7
Gaby elige enteros positivos $N$ y $a$ ($a<N$) y escribe en el pizarrón el número $a$. Luego, en cada turno, hace lo siguiente: toma el último número escrito en el pizarrón, hace en una hoja aparte la división de $N$ por esté último número y escribe en el pizarrón el resto de esta división. Cuando escriba el número $0$, se detiene. Determinar si puede elegir $N$ y $a$ de modo que la suma de los números del pizarrón sea mayor que $100N$.