Archivo de Enunciados • Listas de problemas • COFFEE • Matías Saucedo


Problema 1
Probar que con monedas de $5$ y $12$ centavos se puede pagar cualquier cantidad mayor o igual a $44$ centavos sin tener que recibir vuelto.

Problema 2
Se tienen $n$ rectas en el plano que lo dividen en regiones. Supongamos que no hay tres de estas rectas que pasan por el mismo punto. Probar que se puede colorear con dos colores las regiones de manera que cualesquiera dos de ellas adyacentes sean de distintos colores.

Problema 3
Decimos que un entero positivo está lleno de cuadrados, si en su factorización todos los primos aparecen elevados a un exponente mayor que uno. Por ejemplo, $72=2^3\cdot 3^2$ está lleno de cuadrados y $18=2\cdot 3^2$ no lo está. Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n$ y $n+1$ están llenos de cuadrados.

Problema 4
Cierto segmento $AB$ tiene solamente sus extremos pintados. Matías puede realizar una serie de operaciones del siguiente tipo:
  • elegir dos puntos $X,Y$ pintados y pintar el punto medio de $XY$.
  • elegir dos puntos $X,Y$ pintados, un entero positivo $n$ y pintar el punto $Z$ del segmento $XY$ que satisface $\frac{XZ}{ZY}=\frac{n}{n+1}$.
Matías afirma que dada cualquier fracción $\frac{p}{q}$, con $p,q$ enteros positivos, él puede lograr pintar el punto C sobre el segmento AB tal que $\frac{AC}{CB} =\frac{p}{q}$. ¿Es cierto lo que dice Matías?