Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Centroamericana y del Caribe • 2019


Problema 1
Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha _1\alpha _2\ldots \alpha _k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha _1\alpha _2\ldots \alpha _kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.

Problema 2
Se tiene un polígono regular $P$ con $2019$ vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores, Azul y Rojo, van a jugar alternadamente, empezando por Azul, de la siguiente manera:
Primero Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y pinta el interior del triángulo de azul, después Rojo elige un triángulo con vértices en $P$ y pinta el interior del triángulo de rojo, de tal forma que los triángulos formados en cada jugada no se intersecan en su interior con ninguno de los anteriores. Continúan así hasta que ya no pueden elegir más triángulos para pintarlos. Después, la moneda de cada vértice la gana el jugador que tenga más triángulos de su color incidiendo en ese vértice (si hay la misma cantidad de triángulos de los dos colores incidentes en ese vértice, entonces ninguno de los dos gana esa moneda, y la moneda se anula). Gana el jugador que logra más monedas.
Encuentre una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores.

Nota: Dos triángulos pueden compartir vértices o lados.

Problema 3
Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$.
Demostrar que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$, respectivamente, se cortan sobre $AD$.

Problema 4
Sean $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y cortan a la recta $l$ en $D$ y $E$ respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente.
Demostrar que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Problema 5
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$.
Demostrar que $$a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ca}+c\sqrt{c^2+6ab}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Problema 6
Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$.
¿Es posible cubrir un tablero cuadrado de $8\times 8$ con $21$ triminós, de modo que quede exactamente un cuadradito de $1\times 1$ sin cubrir? En caso afirmativo, determine todas las posiciones posibles en el tablero del cuadradito que queda sin cubrir.