Archivo de Enunciados • Listas de problemas • FOFO • Pascua 2020


Problema 1
En el torneo de fútbol "Mueva San Martín" participaron cuatro equipos:
"El-Ta-ller", "ORT-ORT-ORT", "Poli-Poli" y "Los Ninjas". Cada equipo jugó exactamente una vez con cada uno de los otros tres. El Turko, que era el encargado de anotar los goles, al final del torneo afirma que:
  • $\text{(a)}$ Los equipos en total anotaron $1$, $3$, $6$ y $7$ goles respectivamente, y recibieron $4$, $4$, $4$ y $5$ goles respectivamente.
  • $\text{(b)}$ Si no se hubiera jugado con VAR, los equipos habrían anotado $1$, $3$, $6$ y $13$ goles respectivamente, y habrían recibido $4$, $4$, $4$ y $11$ goles respectivamente.
Decidir si lo que afirma el Turko en cada uno de los casos puede ser cierto.
Si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo para los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar por qué.

Problema 2
Se tiene una progresión geométrica de enteros. Se sabe que el primer término de la progresión es $64000$ y que el último término es impar.
¿Cuántos términos tiene la progresión? Dar todas las posibilidades.

Aclaración: Una progresión geométrica es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior multiplicando por un cierto número real fijo $r$.

Problema 3
A las doce de la noche, el Diegote se tiró de un puente a un río y empezó a nadar a una velocidad constante en el sentido contrario de la corriente. A la una de la mañana, cambió su sentido y empezó a nadar a favor de la corriente a la misma velocidad. Cuando el Diegote volvió a pasar por debajo del puente del que se había tirado originalmente, el Monazo le dijo que su gorra se había caído al río al mismo tiempo que el Diegote había saltado del puente.

El Diegote continuó nadando a favor de la corriente a la misma velocidad a la que estaba nadando, hasta toparse con la gorra del Monazo a exactamente un kilómetro del puente. ¿Cuál era la velocidad de la corriente?

Problema 4
Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$ tal que $AB+CD=AD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $E$. La recta paralela a las bases que pasa por $E$ corta al lado $AD$ en el punto $F$. Demostrar que $B\widehat{F}C=90^{\circ}$.

Problema 5
I-OMA es una obra social muy exclusiva de matemáticos. Tal es así que cada vez que uno solicita un servicio, para hacerse acreedor del mismo tiene que enfrentarse en una partida del $SOS$ a un representante de la misma. ¿En que consiste este juego? El representante y el matemático juegan por turnos a colocar en un tablero de $1\times 2020$ letras $S$ o letras $O$ en casilleros vacíos, comenzando el representante. Cada jugador en su turno elige la letra que desea y dónde colocarla. Si el matemático logra formar la palabra $SOS$ en tres casillas consecutivas, entonces resulta ganador, en cualquier otro caso, gana I-OMA.
Demostrar que el matemático siempre puede asegurarse recibir el servicio solicitado.

Problema 6
La bisectriz del ángulo $B\widehat{A}C$ del triángulo $ABC$ corta al lado $BC$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BD$ y $CE$, respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ corta nuevamente a la recta $AN$ en el punto $Q$, y la circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a $BC$ en $D$ corta nuevamente a las rectas $AM$ y $AC$ en los puntos $P$ y $R$, respectivamente.
Demostrar que los puntos $B,~P,~Q,~R$ están sobre una misma recta.

Problema 7
En un pizarrón infinito, Ian escribió infinitos enteros positivos distintos. Se sabe que ninguno de los enteros positivos que escribió tiene más de $2020$ divisores. Demostrar que Ian puede elegir un entero positivo $k$ y colorear infinitos números de celeste de forma tal que el máximo común divisor entre cualesquiera dos números coloreados sea $k$.

Problema 8
Se tienen $n\geq 3$ huevos de pascua divididos en tres filas no vacías.
Se los puede reordenar mediante alguna de las operaciones permitidas:
  • Juntar dos filas formando una sola.
  • Si una fila tiene una cantidad par de huevos de pascua, dividirla en dos que tengan el mismo número de huevos cada una.
Determinar los posibles valores de $n$ tales que sin importar como estén distribuidas las filas al comienzo, es posible obtener $n$ filas de $1$ huevo cada una.

Problema 9
Dado un real $a$, se considera una sucesión $x_1,x_2,\ldots$ tal que $x_1=1$, $x_2=x_3=a$ y además para cada entero positivo $n\geq 3$ se verifica que $x_{n+1}=2x_nx_{n-1}-x_{n-2}$.

Demostrar que si la sucesión tiene un termino nulo, entonces tiene infinitos términos nulos.