Archivo de Enunciados • Listas de problemas • LA CUARENTENA • 2020


Problema 1
Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[3]{b}$ y $\sqrt[3]{c}$ son términos de una progresión aritmética. Probar que $abc$ es un cubo perfecto.

Problema 2
Sea $n$ un entero positivo. En cada una de $k$ casillas de un tablero $n\times n$ hay una persona infectada. Cada día, se contagian simultáneamente todas las personas que tienen al menos dos vecinos infectados. Hallar la menor valor posible de $k$ para que, después de una cantidad suficientemente grande de días, todas las personas estén infectadas.

Aclaración: Dos personas son vecinas si sus casillas tienen un lado en común.

Problema 3
Hallar todas las cuaternas de enteros positivos $(w,x,y,z)$ tales que

$$2^w3^x-5^y7^z=1.$$

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A<45^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el triángulo $ABC$ tal que $BD=CD$ y $\angle BDC=4\angle A$. El punto $E$ es la reflexión de $C$ por $AB$ y el punto $F$ es la reflexión de $B$ por $AC$. Probar que $AD$ y $EF$ son perpendiculares.

Problema 5
Hallar todos los reales positivos $c$ tales que para todo triángulo acutángulo $ABC$ con área $T$ y para todo punto $P$ en el plano vale que

$$(AP+BP+CP)^2\geq cT.$$

Problema 6
Definimos la sucesión $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de la siguiente manera: $a_1=\frac{1}{2}$ y para todo $k$ entero positivo $$a_{2k}=\sum_{i=1}^{k-1}{a_ia_{2k-i}}+\frac{a_k^2}{2},\quad a_{2k+1}=\sum_{i=1}^{k}{a_ia_{2k+1-i}}.$$
Calcular $\sum_{i=1}^{\infty}{a_i}$.

Nota: La sucesión empieza por $\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{5}{128}...$

Problema 7
Determinar todos los pares de enteros $(x, y)$ mayores a $1$ tales que $y^x$ divide a $x^y - 1$.

Problema 8
Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Determinar el mayor valor de $n$ tal que existen conjuntos $A_1, A_2,..., A_n$ y $B_1, B_2,..., B_n$ tales que:\\
i) Los conjuntos $A_1, A_2,..., A_n$ tienen $a$ elementos cada uno.
ii) Los conjuntos $B_1, B_2,..., B_n$ tienen $b$ elementos cada uno.
iii) Para todos $1\leq i,j\leq n$, los conjuntos $A_i$ y $B_j$ son disjuntos si y sólo si $i=j$.

Problema 9
Sean $a$, $b$, $c$ reales no nulos que satisfacen $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}=0$. Hallar el máximo valor de
$$\frac{4}{a^2+1}+\frac{4}{b^2+1}+\frac{7}{c^2+1}.$$

Problema 10
Sea $a$ un real positivo. Se tiene un tablero cuadriculado infinito en todas las direcciones, con algunas de sus casillas pintadas. Se quieren cubrir todas las casillas pintadas con cuadrados tal que:
i) Los bordes de los cuadrados sigan la línea de la cuadrícula,
ii) Ninguna casilla esté en más de un cuadrado y
iii) En cada cuadrado, la proporción de casillas pintadas sobre la cantidad de casillas totales sea mayor a $a$, pero como mucho $a\left\lfloor a^{-1/2}\right\rfloor^2$.
¿Para qué valores de $a$ se puede hacer sin importar qué casillas estén pintadas?

Problema 11
Dos cubos unitarios tienen centro común. ¿Es siempre posible numerar los vértices de cada cubo con enteros del $1$ al $8$ de modo que la distancia entre dos vértices con el mismo número sea como mucho $\frac{4}{5}$? ¿Y como mucho $\frac{13}{16}$?

Problema 12
Sean $x$, $y$ e $z$ enteros positivos tales que

$(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es cuadrado perfecto.

Probar que $xy+1$, $yz+1$ e $zx+1$ son todos cuadrados perfectos.