Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • EGMO • 2020


Problema 1
Sean $a_0,a_1,a_2,\ldots ,a_{3030}$ enteros positivos tales que

$2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n$ para todo $n=0,1,2,\ldots ,3028$.

Demuestre que al menos uno de los enteros $a_0,a_1,a_2,\ldots ,a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Problema 2
Encuentre todas las listas $\left (x_1,x_2,\ldots ,x_{2020}\right )$ de números reales no negativos que satisfacen las siguientes condiciones:
  1. $x_1\leq x_2\leq \ldots \leq x_{2020}$;
  2. $x_{2020}\leq x_1+1$;
  3. existe una permutación $\left (y_1,y_2,\ldots ,y_{2020}\right )$ de $\left (x_1,x_2,\ldots ,x_{2020}\right )$ tal que$$\sum _{i=1}^{2020}\left (\left (x_i+1\right )\left (y_i+1\right )\right )^2=8\sum _{i=1}^{2020}x_i^3.$$
Aclaración: Una permutación de una lista es una lista de la misma longitud, con los mismos elementos pero en un orden cualquiera. Por ejemplo, $(2,1,2)$ es una permutación de $(1,2,2)$, y ambas son permutaciones de $(2,2,1)$. En particular, cualquier lista es una permutación de ella misma.

Problema 3
Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A=\angle C=\angle E$ y $\angle B=\angle D=\angle F$. Además, las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A$, $\angle C$ y $\angle E$ son concurrentes.
Demuestre que las bisectrices interiores de los ángulos $\angle B$, $\angle D$ y $\angle F$ también son concurrentes.

Aclaración: La notación $\angle A$ hace referencia al ángulo $\angle FAB$. Lo mismo se aplica a los otros ángulos del hexágono.

Problema 4
Una permutación de los enteros $1,2,\ldots ,m$ se llama fresca si no existe ningún entero positivo $k<m$ tal que los primeros $k$ elementos de la permutación son los números $1,2,\ldots ,k$ en algún orden. Sea $f_m$ el número de permutaciones frescas de los enteros $1,2,\ldots ,m$.
Demuestre que $f_n\geq n\cdot f_{n-1}$ para todo $n\geq 3$.

Aclaración: Por ejemplo, para $m=4$ la permutación $(3,1,4,2)$ es fresca, mientras que la permutación $(2,3,1,4)$ no lo es.

Problema 5
Considere el triángulo $ABC$ con $\angle BCA>90°$. Sea $R$ el radio del circuncírculo $\Gamma$ de $ABC$. EN el segmento $AB$ existe un punto $P$ con $PB=PC$ y tal que la longitud de $PA$ es igual a $R$. La mediatriz de $PB$ corta a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$.
Demuestre que $P$ es el incentro del triángulo $CDE$.

Problema 6
Sea $m>1$ un entero. Se define una sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$ como $a_1=a_2=1$, $a_3=4$, y para todo $n\geq 4$,$$a_n=m\left (a_{n-1}+a_{n-2}\right )-a_{n-3}.$$Determine todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión es un cuadrado perfecto.