Archivo de Enunciados • Listas de problemas • COFFEE • Carolina González


Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y $BC=12$. Sea $D$ el punto medio de $BC$ y sea $E$ un punto en $AC$ tal que $DE$ es perpendicular a $AC$. La recta paralela a $BC$ que pasa por $E$ corta al lado $AB$ en el punto $F$.
Si $EC=4$, determinar la longitud del segmento $EF$.

Problema 2
Sea $PQRS$ un paralelogramo, se marcan los puntos $A$ y $B$ de modo que $PQ=QA$, $PS=SB$, $P\widehat{Q}A= P\widehat{S}B$ y los triángulos $PQA$ y $PSB$ solamente compartan con el paralelogramo los lados $PQ$ y $PS$, respectivamente.
Demostrar que $R\widehat{A}B=P\widehat{A}Q$ y $A\widehat{B}R=P\widehat{B}S$.

Problema 3
En un triángulo $ABC$, sea $K$ un punto en $AC$ tal que $AK=16$ y $KC=20$, sea $D$ el pie de la bisectriz que pasa por $A$, y sea $E$ el punto de intersección de $AD$ con $BK$. Si $BD=BE=12$, hallar el perímetro del triángulo $ABC$.

Problema 4
Sea $ABP$ un triángulo isósceles con $AB=AP$ y el ángulo $P\widehat{A}B$ agudo. Se traza por $P$ la recta perpendicular a $BP$, y en esta perpendicular se considera un punto $C$ ubicado del mismo lado que $A$ con respecto a la recta $BP$ y del mismo lado que $P$ con respecto a la recta $AB$. Sea $D$ tal que $DA$ es paralelo a $BC$ y $DC$ es paralelo a $AB$, y sea $M$ el punto de intersección de $PC$ y $DA$.
Hallar $\dfrac{DM}{DA}$.

Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $A\widehat{B}C=90^{\circ}$. Sea $D$ el simétrico de $B$ respecto a $AC$. Sea un punto $P$ interior al cuadrilátero $ABCD$ tal que $AB=AP$. Sean $E$, $F$ y $G$ los pies de las perpendiculares a $BD$, $BC$ y $CD$, respectivamente, que pasan por $P$. Si $FP=2$ y $GP=8$, determinar el valor de $EP$.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$ puntos de los lados $AB$, $BC$, respectivamente, tales que $2\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$. Sea $P$ un punto en el lado $AC$.
Demostrar que si $DE$ es perpendicular a $PE$ entonces $PE$ es la bisectriz del ángulo $D\widehat{P}C$ , y recíprocamente, si $PE$ es la bisectriz del ángulo $D\widehat{P}C$ entonces $DE$ es perpendicular a $PE$.