Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Cuenca del Pacífico • 2020


Problema 1
Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Sea $D$ un punto del lado $BC$. La tangente a $\Gamma$ por $A$ corta a la recta paralela a $BA$ por $D$ en el punto $E$. El segmento $CE$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $F$. Supongamos que $B, D, F, E$ son concíclicos. Demostrar que $AC,~BF,~DE$ son concurrentes.

Problema 2
Demostrar que $r=2$ es el mayor número real $r$ que satisface la siguiente condición:
Si una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de enteros positivos satisface las desigualdades$$a_n\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$$para todo entero positivo $n$, entonces existe un entero positivo $M$ tal que $a_{n+2}=a_n$ para todo $n\geq M$.

Problema 3
Determinar todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero positivo $m$ y un conjunto $S$ de enteros positivos tal que cualquier entero $n>m$ se puede escribir como suma de elementos de $S$ de exactamente $k$ maneras.

Problema 4
Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente propiedad:
Para cada sucesión infinita $a_1, a_2,...$ de enteros en la que cada entero de $\mathbb{Z}$ aparece exáctamente una vez, existen subíndices $i<j$ y un entero $k$ tal que $a_i+a_{i+1}+...+a_j=P(k)$.

Problema 5
Sea $n\geq 3$ un entero fijo. El número $1$ se escribe $n$ veces en el pizarrón. Debajo del pizarrón hay dos baldes que inicialmente están vacíos. Una movida consiste en borrar dos números del pizarrón, $a$ y $b$, reemplazarlos por los números $1$ y $a+b$, y a continuación agregar una piedra al primer balde y agregar $\text{mcd}(a,b)$ piedras al segundo balde. Al cabo de un número finito de movidas, hay $s$ piedras en el primer balde y $t$ piedras en el segundo balde, donde $s$ y $t$ son enteros positivos. Hallar todos los valores posibles de la fracción $\frac{t}{s}$.