Archivo de Enunciados • Listas de problemas • COFFEE • Ariel Zylber


Problema 1
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $9f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x, y\in \mathbb{R}$. Si $f(1)=3$, ¿cuánto vale $f(-f(1))$?

Problema 2
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0)$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.

Problema 3
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f\left (x^2-y^2\right )=(x+y)(f(x)-f(y))$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.

Problema 4
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f\left (x^2+xy\right )=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.

Problema A
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$f(f(n))+f(n)^2=n^2+3n+3$$para todo $n\in \mathbb{N}$.

Problema B
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$p\text{ es divisor de }f(p-1)!f(n)+n^{f(p)}$$para todo par de enteros positivos $n, p$ con $p$ primo.

Problema C
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$f(a)+f(b)-ab\text{ es divisor de }af(a)+bf(b)$$para todo par de enteros positivos $a,b$ tales que la primera expresión es no nula.

Problema D
Determinar todas las funciones $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$f^{abc-a}(abc)+f^{abc-b}(abc)+f^{abc-c}(abc)=a+b+c$$para cualesquiera $a,b,c$ enteros mayores o iguales que $2$.

Nota: Se define $f^1(n)=f(n)$ y $f^k(n)=f\left (f^{k-1}(n)\right )$ para todo entero $k$ mayor que $1$.