Apunte sugerido
Es un placer darles la bienvenida a una nueva edición de la COFFEE. En esta ocasión dejaremos dos apuntes. El primero se lo recomendamos a aquellos para los cuales este sea uno de sus primeros encuentros con ecuaciones funcionales. Por otra parte, el segundo lo recomendamos para aquellos que ya cuenten con un poco más de experiencia en la resolución de esta clase de problemas.
Ecuaciones funcionales.pdf
Ecuaciones Funcionales Discretas.pdf
Recomendamos fuertemente que durante la semana intenten leer al menos uno de los apuntes y pensar los problemas para entrar en tema antes de la competencia la próxima semana.
Los problemas propuestos en el apunte no serán los que les pediremos entregar la próxima semana, pero sirven como práctica para terminar de comprender el tema.
La COFFEE "Ariel Zylber" se llevará a cabo los días 5, 6 y 7 de junio de 2020. Comenzará el viernes 5 de junio a las 00:00 hs y finalizará el domingo 7 de junio a las 23:59. Los esperamos bien preparados para la semana que viene!
AgusBarreto, EMILIANO LIWSKI, Fran5, Gianni De Rico, jujumas, Luli97, lucasdeamorin, Monazo, Turko Arias.
Problema 1
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $9f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x, y\in \mathbb{R}$. Si $f(1)=3$, ¿cuánto vale $f(-f(1))$?
Problema 2
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0)$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.
Problema 3
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f\left (x^2-y^2\right )=(x+y)(f(x)-f(y))$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.
Problema 4
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f\left (x^2+xy\right )=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.
Problema A
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$f(f(n))+f(n)^2=n^2+3n+3$$para todo $n\in \mathbb{N}$.
Problema B
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$p\text{ es divisor de }f(p-1)!f(n)+n^{f(p)}$$para todo par de enteros positivos $n, p$ con $p$ primo.
Problema C
Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$f(a)+f(b)-ab\text{ es divisor de }af(a)+bf(b)$$para todo par de enteros positivos $a,b$ tales que la primera expresión es no nula.
Problema D
Determinar todas las funciones $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que$$f^{abc-a}(abc)+f^{abc-b}(abc)+f^{abc-c}(abc)=a+b+c$$para cualesquiera $a,b,c$ enteros mayores o iguales que $2$.
Nota: Se define $f^1(n)=f(n)$ y $f^k(n)=f\left (f^{k-1}(n)\right )$ para todo entero $k$ mayor que $1$.