Archivo de Enunciados • Listas de problemas • OMEO • 2018 • Nivel 2


Problema 1
Sea $ABCDE$ un pentágono regular. Llamemos $P$ y $Q$ a la intersección de $AC$ con $BE$ y $BD$ con $CE$ respectivamente. Si el área de la estrella $ACEBD$ es $1$, hallar el área del cuadrilátero $APQD$.

Problema 2
En un boliche hay $500$ personas. A partir de las $12\text{hs}$, cada minuto se retira un grupo de personas: En el primer minuto se van todos los que no tienen ningún amigo entre los presentes; un minuto después se van todos los que tienen exactamente un amigo entre las personas aun presentes; al siguiente minuto se van todos los que tienen exactamente dos amigos entre las personas aún presentes. Y así sucesivamente, para $3,4,5,\ldots$ hasta que por último se van todos los que tienen exactamente $499$ amigos entre las personas que todavía estén presentes. Determinar el máximo número de personas que pueden quedar en el boliche $500$ minutos después de las $12\text{hs}$

Problema 3
Se tiene un tablero NO cuadriculado de $2018\times 2018$. Nico y Mateo por turnos juegan a colocar dentro del mismo fichas rectangulares de $1\times 18$ en cualquier posición. Comienza Nico y pierde el que ya no pueda colocar una ficha. Determinar quién tiene la estrategia ganadora.

Aclaración: Las fichas no pueden superponerse ni salirse del tablero, pero es válida cualquier rotación de ellas.