Archivo de Enunciados • Listas de problemas • OMEO • 2018 • Nivel 3


Problema 1
Tenemos $5$ bolitas que pesan $1,2,3,4$ y $5$ gramos, pero de apariencia son indistinguibles. Luigi tiene una balanza de platos y su objetivo es colocar un conjunto de bolitas en cada plato (al menos una) de forma que la balanza se equilibre. Mostrar cómo puede hacerlo usando la balanza máximo $6$ veces (contando aquella vez en la que lo consigue).

Nota: Una balanza de platos nos informa, al colocar un conjunto de bolitas en cada plato, o bien cuál de ellos es más pesado, o bien se equilibra si ambos platos pesan lo mismo.

Problema 2
Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero. Sea $X$ un punto en $AB$, $Y$ un punto en $BC$ y $Z$ un punto en $CA$, de forma que el triángulo $\triangle XYZ$ también sea equilátero. Demostrar que: $$\frac{\text{Área}(\triangle XYZ)}{\text{Área}(\triangle ABC)}\geq \frac{1}{4}$$

Problema 3
Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)=n+\lfloor \sqrt n \rfloor$. Demostrar que para todo entero positivo $m$, la sucesión $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \cdots$ contiene un cuadrado perfecto.

Nota: Para cualquier número real $x$, $\lfloor x \rfloor$ es el mayor número entero que es menor o igual a $x$. Por ejemplo: $\lfloor \pi \rfloor = 3$, $\lfloor 7,2 \rfloor = 7$, $\lfloor 18 \rfloor = 18$, etc. De esta forma, si empezamos la sucesión con $m=5$, los siguientes términos serían $f(5)=5+\lfloor \sqrt 5 \rfloor=5+2=7$, $f(7)=7+\lfloor \sqrt 7 \rfloor=7+2=9$, etc.