Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento Ibero • 1998


Problema 1
Sean $a$,$b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo escaleno $\bigtriangleup$ y sean $l=\frac{b+c}{2}$, $m=\frac{c+a}{2}$ y $n=\frac{a+b}{2}$
Probar que $l$, $m$ y $n$ son longitudes de los lados de un triángulo escaleno cuya área es mayor que la del triángulo $\bigtriangleup$.

Problema 2
Determinar todas la funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen $f(x+y)=f(x^{2}+y^{2})$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^+$

Problema 3
Se han dado $1978$ conjuntos, cada uno de los cuales contiene $40$ elementos. Cada par de conjuntos tiene exactamente un elemento en común.
Demostrar que los $1978$ conjuntos tienen un elemento en común.

Problema 4
Sea $ABCD$ un trapecio con la propiedad de que los triángulos $\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle BCD$ tienen el mismo inradio.
Probar que $A$, $B$, $C$ y $D$ son los vértices de un rectángulo.

Problema 5
Probar que para cualquier entero $n\geq 2$, la máxima potencia de $3$ que divide a $n!$ es la misma que la máxima potencia de $3$ que divide a$$(1)(1+4)\ldots \left (1+4+\ldots +4^{n-1}\right )$$

Problema 6
Un paralelogramo está inscrito en un hexágono regular de modo tal que los centros de simetría de ambas figuras coinciden.
Demostrar que el área del paralelogramo es menor o igual que $\frac{2}{3}$ del área del hexágono.

Problema 7
Sea $M$ el conjunto de los puntos de coordenadas enteras del plano.
Para cada punto $P=\left ( x,y \right )\in M$ llamamos vecinos de $P$ a los puntos $\left ( x-1,y \right ),\left ( x+1,y \right ),\left ( x,y-1 \right ),\left ( x,y+1 \right )$.
Sea $S$ un subconjunto finito de $M$. Una función biyectiva $f: S \rightarrow S$ se dirá perfecta si $f(P)$ es vecino de $P$ para todo $P\in S$
Demostrar que si tal función existe, entonces también existe una función perfecta $g: S \rightarrow S$ con la propiedad adicional de
que $g(g(P))=P$ para todo $P\in S$.

Problema 8
Sea $n$ un entero positivo y $a$ un número real. Hallar todas las $n$-uplas $\left (x_1,\ldots ,x_n\right )$ de números reales que satisfacen el sitema de ecuaciones$$\sum \limits _{i=1}^{n} x_{i}^{k}=a^{k}$$para $k=1,\ldots ,n$.

Problema 9
a) Probar que no es posible encontrar un conjunto de $7$ puntos en el plano de tal manera que haya $8$ circunferencias, cada una de las cuales pase por (al menos) $4$ puntos del conjunto.
b) Encontrar un conjunto de $7$ puntos en el plano para el cual existan $6$ circunferencias de tal manera que cada una pase por $4$ puntos del conjunto.
c) ¿Es posible que un conjunto de $7$ puntos en el plano determine $7$ circunferencias, de manera que cada una de esas circunferencias pase por (al menos) $4$ puntos del conjunto.

Problema 10
Sea $\triangle ABC$ un triángulo no obtusángulo. Para cada punto $P$ en el segmento $BC$ sean $Q$ en el segmento $AC$ y $R$ en el segmento $AB$, tales que el $\triangle PQR$ tenga perímetro mínimo. Probar que si todas las rectas $QR$ son concurrentes (cuando $P$ recorre $\overline{BC}$) entonces el ángulo $\angle BAC$ es recto.

Problema 11
Sean $a\geq 2$ y $n\geq 1$ números enteros. Probar que la congruencia $x^{n}\equiv a\pmod p$ tiene solución para una infinidad de primos $p$.

Problema 12
Sea $c\neq 1$ un número racional positivo. Demostrar que es posible partir al conjunto de los números enteros positivos, $\mathbb{N}$, en dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $A,B$ de modo tal que si $x,y$ pertenecen ambos a $A$ o ambos a $B$ entonces $\frac{x}{y}\neq c$.