Archivo de Enunciados • Listas de problemas • Entrenamiento Ibero • 1998


Problema 1
Sean $a$,$b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo escaleno $\bigtriangleup$ y sean $l=\frac{b+c}{2}$, $m=\frac{c+a}{2}$ y $n=\frac{a+b}{2}$
Probar que $l$, $m$ y $n$ son longitudes de los lados de un triángulo escaleno cuya área es mayor que la del triángulo $\bigtriangleup$.

Problema 2
Determinar todas la funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen $f(x+y)=f(x^{2}+y^{2})$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^+$

Problema 3
Se han dado $1978$ conjuntos, cada uno de los cuales contiene $40$ elementos. Cada par de conjuntos tiene exactamente un elemento en común.
Demostrar que los $1978$ conjuntos tienen un elemento en común.

Problema 4
Sea $ABCD$ un trapecio con la propiedad de que los triángulos $\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle BCD$ tienen el mismo inradio.
Probar que $A$, $B$, $C$ y $D$ son los vértices de un rectángulo.

Problema 5
Probar que para cualquier entero $n\geq 2$, la máxima potencia de $3$ que divide a $n!$ es la misma que la máxima potencia de $3$ que divide a$$(1)(1+4)\ldots \left (1+4+\ldots +4^{n-1}\right )$$

Problema 6
Un paralelogramo está inscrito en un hexágono regular de modo tal que los centros de simetría de ambas figuras coinciden.
Demostrar que el área del paralelogramo es menor o igual que $\frac{2}{3}$ del área del hexágono.

Problema 7
Sea $M$ el conjunto de los puntos de coordenadas enteras del plano.
Para cada punto $P=\left ( x,y \right )\in M$ llamamos vecinos de $P$ a los puntos $\left ( x-1,y \right ),\left ( x+1,y \right ),\left ( x,y-1 \right ),\left ( x,y+1 \right )$.
Sea $S$ un subconjunto finito de $M$. Una función biyectiva $f: S \rightarrow S$ se dirá perfecta si $f(P)$ es vecino de $P$ para todo $P\in S$
Demostrar que si tal función existe, entonces también existe una función perfecta $g: S \rightarrow S$ con la propiedad adicional de
que $g(g(P))=P$ para todo $P\in S$.

Problema 8
Sea $n$ un entero positivo y $a$ un número real. Hallar todas las $n$-uplas $\left (x_1,\ldots ,x_n\right )$ de números reales que satisfacen el sitema de ecuaciones$$\sum \limits _{i=1}^{n} x_{i}^{k}=a^{k}$$para $k=1,\ldots ,n$.

Problema 9
a) Probar que no es posible encontrar un conjunto de $7$ puntos en el plano de tal manera que haya $8$ circunferencias, cada una de las cuales pase por (al menos) $4$ puntos del conjunto.
b) Encontrar un conjunto de $7$ puntos en el plano para el cual existan $6$ circunferencias de tal manera que cada una pase por $4$ puntos del conjunto.
c) ¿Es posible que un conjunto de $7$ puntos en el plano determine $7$ circunferencias, de manera que cada una de esas circunferencias pase por (al menos) $4$ puntos del conjunto.

Problema 10
Sea $\triangle ABC$ un triángulo no obtusángulo. Para cada punto $P$ en el segmento $BC$ sean $Q$ en el segmento $AC$ y $R$ en el segmento $AB$, tales que el $\triangle PQR$ tenga perímetro mínimo. Probar que si todas las rectas $QR$ son concurrentes (cuando $P$ recorre $\overline{BC}$) entonces el ángulo $\angle BAC$ es recto.

Problema 11
Sean $a\geq 2$ y $n\geq 1$ números enteros. Probar que la congruencia $x^{n}\equiv a\pmod p$ tiene solución para una infinidad de primos $p$.

Problema 12
Sea $c\neq 1$ un número racional positivo. Demostrar que es posible partir al conjunto de los números enteros positivos, $\mathbb{N}$, en dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $A,B$ de modo tal que si $x,y$ pertenecen ambos a $A$ o ambos a $B$ entonces $\frac{x}{y}\neq c$.

Problema 13
Sea $n$ un entero positivo. Usando los números $1,2,3,\ldots ,n,-n,-(n-1),\ldots ,-3,-2,-1$ numérese sucesivamente en el sentido de las manecillas del reloj los vértices de un $2n$-ágono regular $\wp$.
Después márquese los vértices de $\wp $ de la siguiente manera: En un primer paso, se marca el $1$, y si $ n_i$ es el vértice marcado en el paso $i$, entonces en el paso $i+1$ se marca el vértice al que se llegue avanzando $n_i$ vértices a partir del vértice marcado en el paso $i$ (en el sentido de las manecillas del reloj si $n_i$ es positivo, y en el opuesto si $n_i$ es negativo).
Este procedimiento se repite hasta llegar a un vértice ya marcado en un paso anterior. Sea $f(n)$ el número de vértices no marcados.
$\mathbf{a)}$ Probar que si $f(n)=0$ entonces $2n+1$ es un número primo.
$\mathbf{b)}$ Calcular $f(1997)$.

Problema 14
Sea $P$ un punto en el interior de un círculo, distinto del centro. Se trazan tres rectas a través de $P$ formando ángulos de $60^\circ$, de manera que ninguna de ellas sea diámetro; éstas dividen al círculo en $6$ regiones. Si sombreamos $3$ de los $6$ sectores así determinados en forma alternada alrededor de $P$, tendremos dos regiones dentro del círculo: una sombreada y otra no sombreada. Probar que de estas dos regiones, la que tiene mayor área es la que contiene al centro del círculo.

Problema 15
Demostrar que$$\sqrt[44]{\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 44^\circ}<\sqrt{2}-1<\dfrac{\tan 1^\circ +\tan 2^\circ +\ldots +\tan 44^\circ}{44}$$

Problema 16
Determinar todos los polinomios de la forma$$P_{n}(x)=n!x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+(-1)^n(n+1)n$$con coeficientes enteros, que tiene $n$ raíces reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ que satisfacen las desigualdades $k\leq x_k\leq k+1$ para $k=1,2,\ldots ,n$.