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Problema #A001
Beto tiene una aplicación en el celular que le permite hacer varias operaciones con números. Cada vez que toca el botón rojo, se calcula la suma de los dígitos del número que está en pantalla, se eleva al cuadrado esta suma y se coloca el resultado en la pantalla. Por ejemplo, si el número de la pantalla es el $342$ y Beto toca el botón rojo, el número que quedará en pantalla es el $(3+4+2)^2 = 81$.
Supongamos que inicialmente el número en pantalla es el $2020$ y Beto toca el botón rojo $99$ veces. ¿Qué número quedará en la pantalla al final del proceso?

Problema #A002
Usando solamente los dígitos $1$, $2$, $3$ y $4$, Matilde escribe una lista de números, de acuerdo al siguiente patrón:
El primer número de la lista es $1234321$.
El segundo número de la lista es $1234321234321$.
El tercer número de la lista es $1234321234321234321$.
La lista continúa hasta que Matilde escribe un número que tiene $427$ dígitos.
¿Cuántas veces aparece el dígito $3$ en este último número?

Problema #A003
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ con $AB=99$ y $AC=168$.
Sobre la hipotenusa $BC$ se marcan los puntos $D$ y $E$ tales que $AB=BD$ y $AC = CE$.
Calcular la longitud del segmento $DE$.

Problema #A004
Usando cada uno de los dígitos $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ exactamente una vez, Carolina tiene que formar dos números de cinco dígitos. El objetivo de Carolina es que la diferencia entre estos dos números sea lo más chica posible. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tener esta diferencia?
La diferencia entre dos números es la resta del mayor menos el menor. Por ejemplo, la diferencia entre $164$ y $524$ es $360$.

Problema #A005
En el triángulo $ABC$ de la figura se cumple que $\widehat{A} = 6\widehat{C}$ y $\widehat{B}=3\widehat{C}$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ están sobre los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente y son tales que $AE = AF$, $BD=BF$ y $CD=CE$. Calcular la medida (en grados) del ángulo $D\widehat{F}E$.
triangle_YtNk8.png


Problema #A006
Sebas tiene $27$ dados idénticos de seis caras. En estos dados, cada cara tiene un número distinto del $1$ al $6$, y los números de dos caras opuestas siempre suman $7$.
Pegando estos dados, Sebas quiere armar un cubo de $3 \times 3 \times 3$, de forma tal que la suma de los $54$ números que quedarán visibles en la superficie del cubo sea lo más grande posible. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener esta suma?

Problema #A007
Una urna tiene bolitas azules y blancas. Ayer había en total $663$ bolitas en la urna.
Hoy se agregaron a la urna tantas bolitas azules como había ayer y la mitad de la cantidad de bolitas blancas que había ayer.
Con estas nuevas cantidades, ahora exactamente $\dfrac{3}{4}$ de las bolitas de la urna son azules.
Calcular cuántas bolitas blancas había en la urna ayer.

Problema #A008
Se tiene una semicircunferencia de diámetro $AD$ y centro $O$. Sobre la semicircunferencia se marca un punto $C$ tal que $C\widehat{A}D = 36^{\circ}$. La recta perpendicular a $AC$ que pasa por $O$ corta a la semicircunferencia en el punto $B$. Si $E$ es el punto donde se cortan $AC$ y $BD$, calcular la medida (en grados) del ángulo $A\widehat{E}D$.

Problema #A009
Azul hizo la lista de todos los números de $8$ dígitos en los cuales ningún dígito es igual a $0$ y el dígito $7$ aparece exactamente $7$ veces. ¿Cuántos números tiene la lista de Azul?

Problema #A010
Julián escribió una lista de $10$ números. En la lista de Julián, el promedio de los primeros dos números es $2^2 = 4$, el promedio de los primeros tres números es $2^3=8$, el promedio de los primeros cuatro números es $2^4 = 16$, y este patrón se repite: para cualquier $k$ entre $2$ y $10$, el promedio de los primeros $k$ números de la lista de Julián es $2^k$.
Calcular el promedio de los últimos cuatro números de la lista de Julián.

Problema #A011
Gastón tiene un frasco con bolitas. Un día, Ana, Beto y Charly vieron el frasco de Gastón e hicieron las siguientes afirmaciones:
Ana: "La cantidad de bolitas del frasco es mayor que $200$ y menor que $250$."
Beto: "La cantidad de bolitas del frasco es mayor que $220$ y menor que $273$."
Charly: "La cantidad de bolitas del frasco es mayor que $250$ y menor que $300$."
Gastón les dijo que exactamente una de las tres afirmaciones era correcta.
Teniendo esta información, ¿cuántas posibilidades hay para la cantidad de bolitas en el frasco de Gastón?

Problema #A012
Sea $ABCDE$ un pentágono de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$. En este pentágono se cumple que $AB=BE=75$, $EA=90$ y $BCDE$ es un rectángulo. Además, el área de $ABE$ es la mitad del área del pentágono $ABCDE$.
Calcular el perímetro del pentágono $ABCDE$.

Problema #A013
En el pizarrón están escritos todos los números de tres dígitos: $100, 101, 102, \ldots, 999$. Pablo pinta de azul aquellos números en los cuales el producto de sus tres dígitos es un número par. ¿Cuántos números pinta Pablo de azul?
Nota: El producto es el resultado de multiplicar los tres dígitos.

Problema #A014
Magalí tiene que escribir un número en cada casilla de este tablero de $3 \times 3$, con la condición de que en cada fila, en cada columna y en las dos diagonales el número del centro sea igual al promedio de los otros dos números. Ya completó los números de tres casillas.
$\begin{array}{ |c| c| c| }
\hline
a & 6 & b \\
\hline
8 & c & d \\
\hline
e & f & 19 \\
\hline
\end{array} $
Mostrar cómo puede completar Magalí el resto del tablero.

Problema #A015
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\widehat A = 51^\circ$. Se trazan la bisectriz del ángulo $\widehat B$ y la altura correspondiente al vértice $C$. Estas dos rectas se cortan en el punto $D$. Sabiendo que $B\widehat{D}C=126^\circ$, calcular la medida (en grados) del ángulo $A\widehat{C}B$.

Problema #A016
Se tiene un tablero cuadriculado que tiene la misma cantidad de casillas de alto que de ancho. En este tablero, las casillas están coloreadas alternadamente de blanco y de negro como en un tablero de ajedrez, y las cuatro casillas de las esquinas son negras. Sabiendo que hay en total $148$ casillas negras en los bordes del tablero, calcular cuántas casillas blancas hay en el tablero.

Problema #A017
Si escribimos todos los números enteros entre $1$ y $2020$ uno a continuación del otro, se forma un número muy largo:$$12345678910111213\ldots20192020.$$¿Cuántas veces aparece el dígito $2$ en este número?

Problema #A018
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $B \widehat{A} C = 120^{\circ}$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre el lado $BC$, con $P$ entre $B$ y $Q$, tales que $APQ$ es un triángulo equilátero. Sabiendo que el área del triángulo $PAC$ es $158$, calcular el área del triángulo $ABC$.

Problema #A019
Usando los dígitos del $1$ al $9$, una vez cada uno, Iván quiere formar un número de nueve dígitos que cumpla la siguiente condición: si dos dígitos están en posiciones consecutivas, el número que forman tiene que ser múltiplo de $7$ o de $13$ (puede ser múltiplo de ambos a la vez). ¿Qué número puede formar Iván?

Problema #A020
Bruno inventó un código secreto en el que a cada dígito le corresponde una letra diferente. Un día, se dio cuenta de que si al número de cinco dígitos NOTAR lo multiplica por $4$, el resultado que se obtiene es el número RATON.
En el código de Bruno, ¿a qué número corresponde la palabra TROTAN?

Problema #A021
Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AC$ y $BC$ respectivamente tales que $AB=BD$ y $AE=EC$. Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en el punto $P$.
Si en este triángulo se cumple que $D \widehat{B}C = 48^{\circ}$ y $A\widehat{B}D = E \widehat{A}C$, calcular la medida (en grados) del ángulo $B \widehat{P} E$.

Problema #A022
Melanie escribió la lista de números $$1,\, 23,\, 456,\, 78910,\, 1112131415,\, 161718192021,\, \ldots $$ La lista se construye de acuerdo a las siguientes reglas. El primer número de la lista es el $1$; el segundo número de la lista se obtiene concatenando los siguientes dos enteros; el tercer número de la lista se obtiene concatenando los siguientes tres enteros; el cuarto número de la lista se obtiene concatenando los siguientes cuatro enteros; etcétera.
¿En qué posición de la lista aparece por primera vez la secuencia de dígitos $4321$?
Por ejemplo, la secuencia de dígitos $202$ aparece por primera vez en la posición número $6$ de la lista (es decir, en el sexto número de la lista).

Problema #A023
¿Cuál es el menor número natural que es múltiplo de $45$ y está formado exclusivamente por dígitos $5$ y $6$?

Problema #A024
Sea $ABCD$ un rectángulo de área $376$. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AD$ respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo $CFE$?

Problema #A025
En un torneo de fútbol participan $20$ equipos y cada equipo juega una vez contra cada uno de los restantes. Si un partido termina en empate, ambos equipos ganan $1$ punto; si no, el ganador gana $3$ puntos y el perdedor $0$ puntos.
Al finalizar el torneo hubo un equipo con $57$ puntos, nueve equipos con $38$ puntos, nueve equipos con $11$ puntos y un equipo con $0$ puntos.
¿Cuántos empates hubo en el torneo?

Problema #A026
Agustín hizo la lista de todos los números de $5$ dígitos que tienen exactamente $3$ dígitos impares, ordenados de menor a mayor. La lista de Agustín empieza así: $$10011, 10013, 10015, 10017, \ldots$$ El número que está en la posición número $4$ de la lista de Agustín es el $10017$.
¿Cuál es el número que está en la posición número $2020$ de la lista de Agustín?

Problema #A027
Sobre la mesa hay dos cuadrados de papel, uno amarillo y uno azul, que se superponen parcialmente. En el cuadrado amarillo, el área no superpuesta es el $52\%$ del área del cuadrado; en el cuadrado azul, el área no superpuesta es el $73\%$ del área del cuadrado. Si el perímetro del cuadrado azul es $1280$, ¿cuál es el perímetro del cuadrado amarillo?
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Problema #A028
Decimos que un número de $8$ dígitos es feliz si es múltiplo de $99$ y además es de la forma $63a9b9c8$, donde $a,b,c$ son dígitos. Calcular la suma de todos los números felices.

Problema #A029
Decimos que un número natural es creciente si no tiene dígitos repetidos y sus dígitos aparecen ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha. Por ejemplo, $14578$ es un número creciente, pero $1536$ y $2337$ no lo son. Calcular cuántos números crecientes hay entre $2500$ y $3699$.

Problema #A030
En la figura, los ángulos $A\widehat{C}D$ y $B\widehat{E}D$ son rectos. Además $AD = 288$, $AC = 216$ y $BD = 312$. Calcular la longitud de $BE$.
a030_OgsYk.png


Problema #A031
Lucía escribió una lista de números enteros en el pizarrón. La lista de Lucía tiene más de $100$ y menos de $600$ números.
Uno de esos números es $2020$. La suma de todos los números de la lista de Lucía es igual a $2020$, y también el producto de todos los números de la lista de Lucía es igual a $2020$.
Teniendo esta información, ¿cuántas posibilidades hay para la cantidad de números en la lista de Lucía?

Problema #A032
Consideramos todos los números de $5$ cifras que se pueden escribir usando los dígitos $1, 2, 3, 4, 5$ (sin repetir). ¿Cuánto vale la suma de todos estos números?

Problema #A033
En el pizarrón están escritos dos números de $15$ dígitos: $$a = 344344334443343 \quad \text{y} \quad b= 344433334343433. $$ Usando exclusivamente los dígitos $3$ y $4$, Ariel tiene que escribir otro número de $15$ dígitos que coincida en por lo menos $12$ posiciones con $a$ y también coincida en por lo menos $12$ posiciones con $b$.
¿De cuántas maneras distintas puede Ariel cumplir su tarea?