Archivo de Enunciados • Competencias de OMAForos • COFFEE • Iván Sadofschi


Problema 1
Dada la siguiente lista de $5$ números: $1$, $3$, $5$, $7$ y $9$, en cada operación se pueden elegir $4$ números $a$, $b$, $c$ y $d$, y reemplazar cada uno de ellos por
$$\dfrac{a+b+c-d}{2}, \dfrac{a+b-c+d}{2}, \dfrac{a-b+c+d}{2} \text{ y } \dfrac{-a+b+c+d}{2}$$ respectivamente. Decidir, si mediante una secuencia de operaciones, podemos llegar a $0$, $2$, $4$, $6$, $8$.

Problema 2
Sofía es fan del piedra papel o tijera. Es tan fanática que incluso tiene el álbum de figuritas de ese juego. Este álbum solo tiene 3 figuritas, piedra, papel y tijera, y por lo tanto es muy fácil de completar para Sofía. Así que ahora quiere proponerse un nuevo desafío: tener todas figuritas del mismo tipo. Para lograrlo, su amiga Ana, que también colecciona estas figuritas, le permite cambiar dos figuritas de distinto tipo por dos del tipo restante. Por ejemplo, Sofía puede darle una figurita de papel y otra de tijera, y obtener dos de piedra a cambio. Decidir si puede lograr su objetivo si inicialmente Sofía tiene:
  • $5$ de piedra, $2$ de papel y $11$ de tijera.
  • $6$ de piedra, $7$ de papel y $8$ de tijera.


Problema 3
Se tiene un polígono regular de $12$ lados que en cada vértice tiene escrito $1$ o $-1$. En cada paso, se eligen $3$ vértices consecutivos del polígono y se cambia el signo de los números que tienen escritos.

Originalmente hay un vértice con $-1$ y los demás con $1$. Además, los dos vértices adyacentes al que tiene el $-1$ están pintados de azul.

¿Es posible que luego de una cantidad finita de operaciones exactamente uno de los vértices azules tenga escrito un $-1$ y el resto de los vértices tenga escrito un $1$?

Problema 4
  • Los números $-n, \ldots ,-1,0,1,\ldots ,n$ están escritos en el pizarrón, la operación permitida es elegir dos números $a$, $b$, borrarlos, y escribir en su lugar el número $ab+a+b$.
    Se aplican operaciones hasta que quede un elemento. Hallar todos los valores que puede tomar este último número.
  • Los números $1,\ldots,n$ están escritos en el pizarrón, la operación permitida es elegir dos números $a$, $b$, borrarlos, y escribir en su lugar el número $ab+a+b$.
    Se aplican operaciones hasta que quede un elemento. Hallar todos los valores que puede tomar este último número.


Problema 5
Sobre la figura, Abel y Bia van a disputar un juego con las siguientes reglas:
  • Primero Abel elige un número entero $n$ y un vértice de la figura, al que llamamos meta.
  • Luego Bia debe distribuir $n$ monedas en los vértices de la figura que no sean la meta (pudiendo colocar ninguna, una o varias monedas en un mismo vértice).
  • Abel saca $2$ monedas de un mismo vértice, coloca una de ellas en un vértice que esté conectado por un segmento y retira la otra moneda del juego.
  • Abel gana si logra colocar una moneda en la meta repitiendo el procedimiento anterior. En caso contrario gana Bia.
¿Cuál es el valor mínimo de $n$ para el cual Abel siempre puede ganar el juego?
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Problema 6
Facundo tiene una lista de números escritos en el pizarrón. En una operación puede elegir un número que no sea uno de los extremos y reemplazarlo por la suma de sus vecinos menos su valor actual. Por ejemplo, si la lista contiene los números $3, 1, 4$, puede aplicar la operación sobre el número del medio para obtener $3, 6, 4$.

Inicialmente Facundo tiene la lista $169, 142, 72, 247, 81, 288, 204$. Decidir si puede obtener las siguientes listas aplicando una cantidad finita de operaciones:
  • $169,85,292,126,301,231,204$
  • $204,411,327,257,230,405,239$
  • $169,172,349,295,440,400,204$


Problema 7
Hay $4$ números escritos en el pizarrón, en cada paso, la operación permitida es elegir dos de ellos, digamos $a$ y $b$, y reemplazarlos por $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$ y $a+b-\sqrt{a^2+b^2}$.

Decidir si es posible que algún número sea menor que $1$ luego de una cantidad finita de pasos si los números originales son $3,4,5,6$.