Problema 1
Gastón escribió la lista de todos los números enteros $n$, con $100\leq n\leq 999$, tales que sus dígitos decrecen de izquierda a derecha. Por ejemplo, $421$ y $970$ están en la lista de Gastón, pero $733$ y $994$ no figuran en su lista. Determinar la cantidad de números que tiene la lista.
Problema 2
Diego tiene $4$ fichas blancas y $8$ fichas negras y quiere ubicarlas en una fila de modo que siempre cada ficha blanca tenga inmediatamente a su derecha una ficha negra. Determinar de cuántas maneras puede hacerlo.
Problema 3
En el triángulo $ABC$ sean $E$ y $D$ puntos en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente. La circunferencia de centro $E$ pasa por $A$, $C$ y $D$, y la circunferencia de centro $D$ pasa por $B$ y $E$. Si $\angle BAC=63^\circ$, calcular la medida de $\angle ACB$.
Problema 4
En un torneo, el premio para cada ganador fue de $\$200$ y se pagó con billetes de $\$5$, $\$10$ y $\$20$. Todos los ganadores recibieron la misma cantidad de billetes de exactamente dos de los valores posibles. Por ejemplo, uno de ellos recibió $8$ billetes de $\$5$, $8$ billetes de $\$10$ y $4$ billetes de $\$20$. Además, no hubo dos ganadores que recibieran la misma cantidad en cada uno de los valores de los billetes.
Determinar el mayor número de ganadores que pudo tener el torneo.
Aclaración. Alguna/s de las cantidades de billetes puede ser cero.
Problema 5
Alex escribió una lista de $16$ números enteros tales que
- Para cada $7$ números consecutivos de la lista, su suma es siempre igual a $‒1$.
- Para cada $11$ números consecutivos de la lista, su suma es siempre igual a $1$.
Dar el décimo número de la lista de Alex.
Problema 6
El cuadrilátero $ABCD$ tiene $AB=4$, $BC=5$, $CD=6$, $DA=3$ y $\angle DAB=90^\circ$. Determinar el área del cuadrilátero $ABCD$.