Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Centroamericana y del Caribe • 2020


Problema 1
Un entero positivo de cuatro dígitos se dice virtual si es de la forma $\overline{abab}$, donde $a$ y $b$ son dígitos y $a\neq 0$. Por ejemplo, $2020$, $2121$ y $2222$ son virtuales, pero $2002$ y $0202$ no lo son. Encuentre todos los números virtuales de la forma $n^2+1$, para algún entero positivo $n$.

Problema 2
Se tienen monedas idénticas distribuidas en varias pilas con una o más monedas en cada pila. Una operación consiste en tomar dos pilas con una cantidad total de monedas par entre ellas, y repartir sus mondas entre las dos pilas de modo que ambas terminen con la misma cantidad.
Una distribución es nivelable si es posible, mediante $0$ o más operaciones, lograr que todas las pilas queden con el mismo número de monedas.
Determine todos los enteros positivos $n$ tales que, para todo entero positivo $k$, cualquier distribución de $nk$ monedas en $n$ pilas es nivelable.

Problema 3
Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen la siguiente propiedad:

Para cualesquiera enteros $a$, $b$ y $c$ con $a+b+c=0$, se tiene que$$f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2.$$

Problema 4
Considere un triángulo $ABC$ con $BC>AC$. La circunferencia con centro $C$ y radio $AC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cortan en $F$, con $F\neq A$. Demuestre que $BF=BD$.

Problema 5
Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un entero positivo y sean $x_1,x_2,\ldots ,x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. Demuestre que$$P(x_1)+P(x_2)+\cdots +P(x_k)\geqslant kP(1).$$

Problema 6
Se dice que un entero positivo $N$ es interoceánico si su factorización en primos$$N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$$satisface que$$x_1+x_2+\cdots +x_k=p_1+p_2+\cdots +p_k.$$Encuentre todos los números interoceánicos menores que $2020$.