Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IGO • 2020 • Nivel Intermedio


Problema 1
Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ y $CD$ sus lados paralelos. Sea $M$ el punto medio del segmento $AB$. Existe un punto $N$ del lado $CD$ es tal que $\angle ADN=\frac{1}{2}\angle MNC$ y $\angle BCN=\frac{1}{2}\angle MND$. Demostrar que $N$ es el punto medio del segmento $CD$.

Problema 2
Sean $ABC$ un triángulo isósceles ($AB = AC$) y $O$ su circuncentro. Sean $N$ el punto medio del segmento $BC$ y $M$ el simétrico de $N$ con respecto al lado $AC$. Sea $T$ un punto tal que $ANBT$ es un rectángulo. Demostrar que $\angle OMT=\dfrac{1}{2}\angle BAC$.

Problema 3
En el triángulo acutángulo $ABC$ sea $H$ el ortocentro y $M$ el punto medio del segmento $BC$. La mediana $AM$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $X$. La recta $CH$ corta a la mediatriz de $BC$ en $E$ y también corta nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $F$. El punto $J$ pertenece a la circunferencia $\omega$ que pasa por $X, E$ y $F$, y es tal que $BCHJ$ es un trapecio ($
CB \parallel HJ$). Demostrar que $JB$ y $EM$ se cortan en un punto de $\omega$.

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo. Una circunferencia de centro $J$ que pasa por $B$ y $C$ corta nuevamente a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $X$ un punto tal que el triángulo $FXB$ es semejante al
triángulo $EJC$ (en el mismo orden) y los puntos $X$ y $C$ están del mismo lado de la recta $AB$. Del mismo
modo, sea $Y$ un punto tal que el triángulo $EYC$ es semejante al triángulo $FJB$ (en el mismo orden) y los
puntos $Y$ y $B$ están del mismo lado de la recta $AC$. Demostrar que la recta $XY$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Problema 5
Hallar todos los números $n \geq 4$ tales que existe un poliedro convexo de exactamente $n$ caras en el que todas las caras son triángulos rectángulos.
(Notar que el ángulo formado entre dos caras adyacentes de un poliedro convexo es menor de $180^{\circ}$.)