Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • IGO • 2020 • Nivel Avanzado


Problema 1
Sean $M$, $N$ y $P$ los puntos medios de los lados $BC$, $AC$ y $AB$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Sean $E$ y $F$ dos puntos del segmento $BC$ tales que $\angle NEC=\frac{1}{2}\angle AMB$ y $\angle PFB=\frac{1}{2}\angle AMC$. Demostrar que $AE=AF$.

Problema 2
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo e $I$ su incentro. Sean $N$ el punto medio del arco $\overset{\frown}{BAC}$ de
la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y $P$ un punto tal que $ABPC$ es un paralelogramo. Sean $Q$ el simétrico de $A$ con respecto a $N$ y $R$ la proyección de $A$ sobre $QI$. Demostrar que la recta $AI$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $PQR$.

Problema 3
Son dadas tres circunferencias, cada una exterior a las otras dos, con la propiedad de que toda recta que separa a dos de ellas tiene puntos en el interior de la tercera. Demostrar que la suma de las tres distancias entre sus centros es menor o igual que $2 \sqrt{2}$ veces la suma de sus tres radios. (Una recta separa dos circunferencias si tiene intersección vacía con cada una de ellas y éstas están en semiplanos distintos respecto de la recta.)
Nota. Resultados más débiles, en los que se reemplaza $2 \sqrt{2}$ por una constante $c$, pueden merecer puntos, depende cuál sea la constante $c > 2 \sqrt{2}$.

Problema 4
Se tiene un cuadrilátero circunscrito $ABCD$ de incentro $I$ tal que su circunferencia inscrita es tangente a los lados $AD$, $DC$, $CB$, $BA$ en $K$, $L$, $M$, $N$. Las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $E$ y las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $F$. La recta $KM$ corta a $AB$ y $CD$ en $X$ e $Y$ respectivamente. La recta $LN$ corta a $AD$ y $BC$ en $Z$ y $T$ respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $XFY$ y la circunferencia de diámetro $EI$ son tangentes si y sólo si la circunferencia circunscrita del triángulo $TEZ$ y la circunferencia de diámetro $FI$ son tangentes.

Problema 5
Consideramos un triángulo acutángulo $ABC$ ($AC > AB$) de ortocentro $H$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sean $M$ y $P$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AH$ respectivamente. La recta $AM$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $X$ y $N$ es el punto de la recta $BC$ tal que $NX$ es tangente a $\Gamma$. Los puntos $J$ y $K$ de la circunferencia de diámetro $MP$ son tales que $\angle AJP = \angle HNM$ ($B$ y $J$ están del mismo lado de $AH$) y la circunferencia $\omega_1$ que pasa por $K, H$ y $J$ es tangente exterior a la circunferencia $\omega_2$ que pasa por $K, M$ y $N$. Demostrar que las tangentes exteriores comunes a $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en la recta $NH$.