Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2020


Problema 1
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno tal que $AB<AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en la recta $MN$ tales que $\angle CBP=\angle ACB$ y $\angle QCB=\angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ intersecta a la recta $AC$ en $D$ ($D\neq A$) y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ intersecta a la recta $AB$ en $E$ ($E\neq A$). Demuestre que las recta $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.

Problema 2
Para cada entero positivo $n$, se define $T_n$ como el menor entero positivo tal que $1+2+\cdots +T_n$ es múltiplo de $n$. Por ejemplo, $T_5=4$ puesto que $1$, $1+2$ y $1+2+3$ no son múltiplos de $5$, pero $1+2+3+4$ sí es múltiplo de $5$.
Determine todos los enteros positivos $m$ tales que $T_m\geqslant m$.

Nota. Todo entero positivo es múltiplo de sí mismo.

Problema 3
Sea $n\geqslant 2$ un entero. Una sucesión $\alpha =(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si$$\text{mcd}\{a_i-a_j\quad \text{tal que}\quad a_i>a_j\quad \text{y}\quad 1\leqslant i,j\leqslant n\}=1$$es decir, si el máximo común divisor de todas las diferencias $a_i-a_j$, con $a_i>a_j$, es $1$.
Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_\ell$ de una sucesión, con $k\neq \ell$, y reemplazar $a_\ell$ por $a_\ell '=2a_k-a_\ell$.
Demuestre que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas, digamos $\beta$ y $\gamma$, tales que es posible transformar $\beta$ en $\gamma$ mediante un número finito de operaciones.

Notas.
  • Las sucesiones $(1,2,2,7)$ y $(2,7,2,1)$ tienen los mismos elementos pero son diferentes.
  • Si todos los elementos de una sucesión son iguales, entonces esa sucesión no es limeña.


Problema 4
Demuestre que existe un conjunto $\mathcal{C}$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades:
  • Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $\mathcal{C}$, se obtiene una lista de números todos distintos.
  • Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $\mathcal{C}$, se obtiene una lista de números todos distintos.


Problema 5
Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(xf(x-y))+yf(x)=x+y+f\left (x^2\right )$$para cualesquiera números reales $x,y$.

Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ el otrocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ intersecta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico al punto $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.